§1
Ἐπειδὴ τοῦ ποσοῦ τὸ μέν ἐστιν ἐν τοῖς συνεχέσι σώ- μασιν, ὃ δὴ μέγεθος καλεῖται, περὶ ὅ ἐστι μάλιστα ἡ γεωμετρία, τὸ δὲ ἐν διεστῶσιν, ὅπερ ἀριθμὸς καθέστη- κεν, περὶ ὃν ἡ ἀριθμητικὴ καταγίνεται, σκοπῶμεν ἀπὸ τῶν γεωμετρικῶν τε ἀρχῶν καὶ θεωρημάτων μετελθόν- τες καὶ τὰ περὶ ἀριθμοῦ τούτου γὰρ ἀναιρεθέντος οὐδʼ ἡ περὶ αὐτὸν συνισταμένη γενήσεται τέχνη.
§2
Καθόλου μὲν οὖν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων Πυθαγορι- κοὶ μεγάλην ἀπονέμουσι δύναμιν τοῖς ἀριθμοῖς ὡς τῆς τῶν ὅλων φύσεως κατ’ αὐτοὺς διοικουμένης. ὅθεν καὶ ἀεί ποτε ἐπεφώνουν τὸ (Simpl. in Arist. phys. p.1102,22 Diels) ἀριθμῷ δέ τε πάντʼ ἐπέοικεν, | ὀμνύοντες οὐ μόνον τὸν ἀριθμὸν ἀλλὰ καὶ τὸν ὑποδεί- ξαντα αὐτοῖς τοῦτον Πυθαγόραν ὡς θεὸν διὰ τὴν ἐν ἀριθ- μητικῇ δύναμιν, λέγοντες οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν, παγὰν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ’ ἔχουσαν. (B 15 Diels)
§3
τετρακτὺς δὲ προσηγορεύετο παῤ αὐτοῖς ὁ ἐκ τῶν πρώ- των 〈δ΄〉 ἀριθμῶν συγκείμενος ‘τέταρτος ἀριθμός’. ἓν γὰρ καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέσσαρα δέκα γίνεται ὅς ἐστι τελειό- τατος ἀριθμός, ἐπείπερ ἐπʼ αὐτὸν φθάσαντες πάλιν ἀνα- λύομεν ἐπὶ τὴν μονάδα καὶ ἐξ ὑπαρχῆς ποιούμεθα τὰς ἀριθμήσεις. πηγὴν δὲ ἀενάου φύσεως ῥιζώματ’ ἔχουσαν εἰρήκασιν αὐτὸν διὰ τὸ κατ’ αὐτούς ἐν αὐτῷ τὸν λόγον τῆς ἁπόντων κεῖσθαι συστάσεως, οἷον εὐθέως τοῦ τε σώ- ματος καὶ τῆς ψυχῆς· ἀπαρκέσει γὰρ τούτων ὑποδειγ- ματικῶς μεμνῆσθαι.
§4
ἡ μὲν οὖν μονὰς ἀρχή τις ὑπόκει- ται τῆς τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ἀπεργαστικὴ συστάσεως, ἡ δὲ δυὰς μήκους ἐστὶν ἀπεργαστική. καθάπερ γὰρ ἐπὶ τῶν γεωμετρικῶν ἀρχῶν (M III 19 sqq.) ὑπεδείξαμεν πρῶτον, τίς ἐστιν ἡ στιγμή, εἶτα μετ’ αὐτὴν ἡ γραμ- μὴ μῆκος ἀπλατές τυγχάνουσα, τὸν αὐτὸν τρόπον καὶ ἐπὶ τοῦ παρόντος ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς στιγμῆς ἐπέχει λόγον, ἡ δὲ δυὰς τὸν τῆς γραμμῆς καὶ τοῦ μήκους· πσθὲν γάρ ποι ἐχώρησεν ἡ διάνοια ταύτην ἐννοουμένη, τοῦτο δʼ ἦν μῆκος.
§5
ἡ δὲ τριὰς ἐπὶ τοῦ πλάτους καὶ τῆς ἐπιφα- νείας ἐτέτακτο ποθὲν γάρ ποι 〈καὶ πάλιν ποι〉 ἐφέρετο ὁ νοῦς. καὶ προστιθεμένης τῇ κατὰ μῆκος διαστάσει τῆς κατὰ πλάτος διαστάσεως ἐπιφάνειανοεῖται. ἀλλὰ κἂν ἐπιθεωρήσῃ τις τῇ τριάδι τετάρτην μονάδα, τουτέστι τέταρτον ση- μεῖον, γίνεται πυραμίς, στερεὸν σῶμα καὶ σχῆμα· καὶ γὰρ μῆκος ἔχει καὶ πλάτος καὶ βάθος ὥστε ἐν τῷ ‘τε- τάρτῳʼ ἀριθμῷ τὸν τοῦ σώμα|τος περιέχεσθαι λόγον.
§6
καὶ μὴν καὶ τὸν τῆς ψυχῆς· ὡς γὰρ τὸν ὅλον κόσμον κατὰ ἁρμονίαν λέγουσι διοικεῖσθαι, οὕτω καὶ τὸ ζῷον ψυχοῦ- σθαι. δοκεῖ δὲ ἡ τέλειος ἁρμονία ἐν τρισὶ συμφωνίαις λαμβάνειν τὴν ὑπόστασιν, τῇ τε διὰ τεττάρων καὶ τῇ διὰ πέντε καὶ τῇ διὰ πασῶν. ἡ μὲν οὖν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ κεῖται λόγῳ, ἡ δέ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, ἡ δέ διὰ πασῶν ἐν διπλασίονι.
§7
ἐπίτριτος δὲ λέγεται ἀριθμὸς ὁ ἐξ ὅλου τινὸς ἀριθμοῦ συνεστηκὼς καὶ ἐκ τοῦ τρίτου μέ- ρους ἐκείνου, ὡς ἔχει ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ἕξ καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν ἓξ περιέσχηκε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, τουτέστι τὴν δυά- δα. ἡμιόλιος δὲ καλεῖται, ὅταν περιέχῃ ἀριθμὸς ἀριθμὸν καὶ τὸ ἥμισυ ἐκείνου, ὡς ἔχει ὁ ἐννέα πρὸς τὸν ἕξ· συν- έστηκε γὰρ ἐκ τοῦ ἓξ καὶ ἐκ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ, τουτέστι τῶν τριῶν. διπλασίων δέ προσαγορεύεται ὁ δυσὶν ἀριθμοῖς 〈ἴσοις〉 ἴσος, ὡς ὁ τέσσαρα πρὸς τὸν δύο δὶς γὰρ τὸν αὐτὸν περιέσχηκεν.
§8
ἀλλὰ γὰρ τούτων οὕτως ἐχόντων, καὶ κατὰ τὴν ἀρχῆθεν ὑπόθεσιν τεσσάρων ὄντων ἀριθμῶν, τοῦ τε ἑνὸς καὶ δύο καὶ τρία καὶ τέσσαρα, ἐν οἷς ἐλέγο- μεν καὶ τὴν τῆς ψυχῆς ἰδέαν περιέχεσθαι κατὰ τὸν ἐν- αρμόνιον λόγον, ὁ μὲν τέσσαρα τοῦ δύο καὶ ὁ δύο τῆς μονάδος ἐστὶ διπλασίων, ἐν ᾧ ἔκειτο ἡ διὰ πασῶν συμ- φωνία,
§9
ὁ δὲ τρία τοῦ δύο ἡμιόλιος (καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν δύο περιέσχηκε καὶ τὸ ἥμισυ τούτου, ὅθεν καὶ τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν ὑποβάλλειν), ὁ δὲ τέσσαρα τοῦ τρία ἐπίτριτος, ὑπέκειτο δὲ καὶ ἐν τούτῳ ἡ διὰ τεσσάρων συμ- φωνία. ὥστε εἰκότως τὸν ‘τέταρτον ἀριθμὸν’ παρὰ τοῖς Πυθαγορικοῖς εἰρῆσθαι πηγὴν ἀενάου φύσεως ῥιζώματ’ ἔχουσαν.
§10
Ἀλλʼ ὅτι μὲν πολλὴν δύναμιν ἀπένεμον τοῖς ἀριθμοῖς, ἐκ τούτων συμφανές ὑποδειγματικώτερον εἰρημέ|νων· πο- λὺς γὰρ ὁ περὶ ἀριθμῶν παρʼ αὐτοῖς ἐστὶ λόγος, ὃν ἐάσαν- τες τὰ νῦν μηκύνειν ἁπτώμεθα τῆς ἀντιρρήσεως, τὴν ἀρχὴν τῶν λόγων ἀπὸ μονάδος ποιησάμενοι, ἥτις ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ καθέστηκε καὶ ἧς ἀναιρουμένης οὐδʼ ἔστιν ἀριθμός.
§11
Τὴν τοῦ ἑνὸς τοίνυν νόησιν διατυπῶν ἡμῖν πυθαγορι- κώτερον ὁ Πλάτων φησὶν ‘ἕν ἐστιν οὗ μηδὲν χωρίς λέ- γεται ἕν’ ἢ ‘οὗ μετοχῇ ἕκαστον ἕν τε καὶ πολλὰ λέγε- ται᾿. τὸ γὰρ φυτόν, εἰ τύχοι, καὶ τὸ ζῶον καὶ ὁ λίθος προσαγορεύεται μὲν ἕν, οὐκ ἔστι δὲ κατὰ τὸν ἴδιον λόγον ἕν, ἀλλʼ ἓν μετοχῇ ἑνὸς νοεῖται, τούτου μηδενὸς τούτων καθεστῶτος.
§12
οὔτε γὰρ φυτὸν οὔτε ζῷον οὔτε λίθος οὔτε ἄλλο τι τῶν ἀριθμητῶν τὸ ὄντως ἕν ἐστιν. εἰ γὰρ φυτόν ἐστιν ἢ ζῷον τὸ ἕν, πάντως ὃ μὴ φυτόν ἐστι μηδὲ ζῷον οὐ ῥηθήσεται ἕν λέγεται δὲ καὶ φυτὸν ἓν καὶ ζῷον καὶ ἄλλα μυρία·
§13
οὐδὲν ἄρα τῶν ἀριθμητῶν ἐστι 〈τὸ〉 ἕν, τὸ δὲ οὗ ἕκαστον 〈μετέχον ἕν τε καὶ πολλὰ γίνεται·〉 ἓν μὲν καθʼ ἑαυτὸ ἕκαστον, πολλὰ δέ ἀθροισμῷ [μετέχον, ἕν τε και πολλά γίνεται] τῶν καθʼ ἕκαστον. ὅπερ πάλιν πλῆθος οὐδέν ἐστι τῶν πολλῶν, οἷον φυτῶν ζῴων λίθων κατὰ μετοχὴν μὲν γὰρ ἐκείνου ταῦτα λέγεται πολλά, αὐτὸ δὲ οὔκ ἐστιν ἐν τούτοις.
§14
πλὴν τοιαύτη μὲν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα νοεῖται τοῖς περὶ τὸν Πλάτωνα· ἐπισυν- άπτοντες δὲ ἡμεῖς λεγωμεν. ἤτοι ἑτέρα τῶν κατὰ μέρος ἀριθμητῶν ἐστιν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα, ἢ σύν ἐκείνοις τοῖς μετέχουσιν αὐτῆς νοεῖται. ἀλλὰ καθ αὑτὴν μέν 〈οὐχ ὑφέστηκεν, εἴγε〉 παρὰ τὸ κατὰ μέρος ἀριθμητὰ οὐδὲν νοεῖται ἓν ὑποκείμενον. λείπεται ἄρα ἐν ἐκείνοις τοῖς μετ- έχουσιν αὐτοῦ νοεῖσθαι, ὃ πάλιν τῶν ἀπόρων.
§15
τὸ γὰρ ἀριθμητὸν ξύλον εἰ μετοχῇ μονάδος ἐστὶν ἕν, ὃ μή ἐστι ξύλον οὐ λεχθήσεται ἕν λέγεται δέ γε, ὡς ἀνώτερον (v. 7) ὑποδέδεικται οὐκ ἄρα ἐστὶν ἡ μονὰς ἧς μετοχῇ ἓκαστον τῶν κατὰ μέρος ἀριθμητῶν μονὰς προσαγορεύε- ται.
§16
εἶτα τὸ πολλοῖς μετε|χόμενον πολλά ἐστι καὶ οὐχ ἕν, τὰ δὲ ἀριθμητὰ πολλά τέ ἐστι καὶ ἄπειρα· οὐκ ἄρα μετοχῇ τῆς μονάδος ἕκαστον τῶν ἀριθμητῶν ἕν ἐστιν.
§17
ὥσπερ οὖν ὁ γενικὸς ἄνθρωπος, ὅν τινες νοοῦσι ζῷον θνητὸν λογικόν, οὔτε Σωκράτης ἐστὶν οὔτε Πλάτων, ἐπει- δὴ οὐδεὶς ἕτερος λεχθήσεται ἄνθρωπος, οὔτε καθʼ ἑαυ- τὸν ὑφέστηκεν οὔτε μετὰ Πλάτωνος καὶ Σωκράτους, ἐπεὶ ἐθεωρεῖτο ἂν ὡς ἄνθρωπός 〈τις〉, οὕτω καὶ τὸ ἓν μήτε σὺν τοῖς κατὰ μέρος ἀριθμητοῖς μήτε καθʼ ἑαυτὸ ὑφεστηκὸς νοούμενον εὐθέως ἐστὶν ἀνεπινόητον.
§18
τὰ δὲ αὐτὰ λεκτέον καὶ ἐπὶ τοῦ δύο ἢ καὶ τρία καὶ καθ- όλου ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ, ἵνα μὴ μηκύνωμεν. ἔνεστι δὲ καὶ οὕτως συνερωτᾶν. ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα, ἧς μετοχῇ τι ἓν λέγεται, ἤτοι μία ἐστὶν ἰδέα ἢ τοῦ ἑνὸς πλείους ἰδέαι τυγχάνουσιν. ἀλλʼ εἰ μέν μία ἐστίν, 〈ἤτοι ἀμερής ἢ πο- λυμερής ἐστιν· εἰ δὲ ἀμερής,〉 οὐ πολλοῖς μετέχεται τοῦ γὰρ Α, εὐσήμου χάριν διδασκαλίας, τὴν ὅλην τοῦ ἑνὸς ἰδέαν ἔχοντος, τὸ Β μὴ μετέχον ταύτης οὐκέτʼ ἔσται ἕν. καὶ μὴν οὐδὲ πολυμερὴς καθέστηκεν,
§19
ἵνα πολλὰ ᾖ τὰ μετ- έχοντα ταύτης· πρῶτον μέν γὰρ ἔσται ἕκαστον οὐ τῆς τοῦ ἑνὸς ἰδέας μετέχον, μέρους δὲ αὐτῆς, εἶτα καὶ ἡ μο- νὰς ἀδιαίρετος καὶ ἀμερὴς ἐνοεῖτο κατ’ αὐτούς. εἰ δέ πλείους εἰσὶν ἰδέαι τοῦ ἑνός, 〈ὡς〉 ἕκαστον τῶν καθʼ ἓν τασσομένων ἀριθμητῶν 〈ἰδίας τινὸς μετέχειν ἰδέας〉, ἤτοι 〈ἡ〉 τοῦ Α 〈καὶ〉 ἡ τοῦ Β [καθ’ ἓν ἑκάτερον] μετέχει τινὸς κοινῆς ἰδέας 〈καθʼ ἣν ἑκάτερον αὐτῶν προσαγο- ρεύεται ἕν〉, ἢ οὐ μετέχει.
§20.1
καὶ εἰ μὲν οὐ μετέχει, δεήσει καὶ ἅπαντα δίχα τοῦ μετέχειν ἰδέας κατὰ τὸ ἓν τετάχθαι, ὅπερ οὐ θέλουσιν. εἰ δὲ μετέχει, ἡ ἐξ ἀρχῆς συνεισαχθή- σεται ἀπορία· πῶς γὰρ μιᾶς τὰ δύο μεθέξει;
§20.2
Ταῦτα μὲν οὖν περὶ μονάδος, ἧς ἀνῃρημένης πᾶς ἀνῄ- ρηται ὁ ἀριθμός·
§21
ὅμως δʼ οὖν ἐπισυνάπτωμεν καὶ τὰ περὶ τῆς δυάδος. ἄπορος γάρ πως καὶ αὕτη συνίσταται κατὰ τὴν τῶν μονάδων σύνοδον, ὥσπερ καὶ ὁ Πλάτων διὰ τοῦ Περὶ ψυχῆς (Phaed. 97 A) πρότερον ἠπόρηκεν. παρατεθείσης | γὰρ μονάδος ἑτέρᾳ μονάδι ἤτοι προσγί- νεταί τι κατὰ τὴν παράθεσιν ἢ ἀπογίνεται ἢ οὔτε προσ- γίνεταί τι οὔτε ἀπογίνεται.
§22
ἀλλʼ εἰ μὲν οὔτε προσγίνεταί τι οὔτε ἀπογίνεται, οὐκ ἔσται κατὰ παράθεσιν τῆς ἑτέρας μονάδος τῇ ἑτέρα ἡ δυάς. εἰ δὲ ἀπογίνεταί τι κατὰ τὴν παράθεσιν, ἐλάττωσις ἔσται τοῦ ἑνὸς καὶ ἑνός, καὶ δυὰς οὐ γενήσεται. εἰ δὲ προσγίνεταί τι, τὰ δύο οὐ γενήσεται δύο ἀλλὰ τέσσαρα· δυὰς γὰρ ἡ ἐπιγινομένη καὶ μονὰς καὶ ἑτέρα μονὰς τὸν τῶν τεσσάρων ἀριθμὸν συνίστησιν. οὐδὲν ἄρα ἔσται δυάς. ἡ δὲ αὐτὴ γένοιτʼ ἂν ἀπορία καὶ ἐπὶ παντὸς ἀριθμοῦ, ὥστε μηδὲν εἶναι κατὰ τοῦτο ἀριθμόν.
§23
Οὐ μὴν ἀλλʼ ἐπεὶ κατὰ πρόσθεσιν μονάδος καὶ κατὰ ἀφαίρεσιν ὁ ἀριθμὸς νοεῖται, δῆλον ὡς ἐὰν τούτων ἑκά- τερον παραστήσωμεν ἀδύνατον, οἰχήσεται καὶ ἡ τῶν ἀριθ- μῶν ὑπόστασις. λέγωμεν δὲ πρῶτον εὐθὺς περὶ ἀφαιρέ- σεως, ὑποδειγματικῇ χρώμενοι τῇ διδασκαλία.
§24
ἡ τοίνυν ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος ἀφαιρουμένη μονὰς ἤτοι ἀπὸ ὅλης τῆς δεκάδος ἢ ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος ἀφαιρεῖται· οὔτε δὲ ἀφʼ ὅλης, ὡς παραστήσομεν, οὔτε ἀπὸ τῆς ἐννεάδος, ὡς διδάξομεν οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖταί τι ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος. εἰ γὰρ ἀφʼ ὅλης ταύτης ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἤτοι ἡ δεκάς ἐστιν ἑτέρα τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων δεκὰς προσαγο- ρεύεται.
§25
ἀλλʼ ἑτέρα μὲν τῶν κατὰ μέρος μονάδων οὐκ ἔστιν ἡ δεκάς· καὶ γὰρ ἀναιρεθεισῶν ἐκείνων οὐδʼ ἔστι δεκάς, καὶ τῆς δεκάδος ἀναιρεθείσης ὁμοίως αἱ μονάδες οὐκέτι ὑπάρχουσιν. εἰ δὲ ἡ αὐτὴ ταῖς μονάσιν ἐστὶν ἡ δεκάς, τουτέστιν εἰ αἱ κατὰ μέρος μονάδες εἰσὶ δεκάς, δῆλον ὡς εἴπερ ἀπὸ τῆς δεκάδος ἡ τῆς μονάδος ἀφαίρε- σις γίνεται, ἀφʼ ἑκάστης μονάδος ἀφαιρεθήσεται (αἱ γὰρ κατὰ μέρος μονάδες ἦσαν ἡ δεκάς), καὶ οὕτως οὐκέτι ἔσται μονάδος ἆρσις ἀλλὰ δεκάδος. ὥστε οὐκ ἀπὸ ὅλης | τῆς δεκάδος αἴρεται ἡ μονάς.
§26
καὶ μὴν οὐδʼ ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος ἡ ἆρσις αὐτῆς γίνεται· πῶς γὰρ ἔτι μετὰ τὴν ἆρσιν αὐτῆς σῶός ἐστιν ἡ ὑποκειμένη ἐν- νεάς; ἀλλʼ εἰ μήτε ἀφʼ ὅλης τῆς δεκάδος αἴρεται ἡ μονὰς μήτε ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος, οὐδεὶς ἀριθμὸς κατὰ ἀφαίρεσιν συνίσταται.
§27
ἄλλως τε, εἰ ἀπὸ τῆς ἐννεά- δος αἴρεται ἡ μονάς, ἤτοι ἀπὸ ὅλης αἴρεται ἢ ἀπὸ τῆς τελευταίας αὐτῆς μονάδος. καὶ εἰ μὲν ἀπὸ ὅλης τῆς ἐν- νεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἔσται ἆρσις τῆς ἐννεάδος τὸ γὰρ ἀφαιρούμενον ἀφʼ ἑκάστης μονάδος, τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἐννέα οὐσῶν, τὸν τῆς ἐννεάδος ἀριθμὸν συντί- θησιν.
§28
εἰ δὲ ἀπὸ τῆς τελευταίας μονάδος γίνεται τὰ τῆς ἀφαιρέσεως, πρῶτον μὲν καὶ ἡ τελευταία μονάς, ἀμερὴς οὖσα, δειχθήσεται μεριστὴ τυγχάνειν, ὅπερ ἄτοπον εἶτα εἰ ἀπὸ τῆς τελευταίας μονάδος αἴρεται ἡ μονάς, οὐ δυ- νήσεται ἔτι ὁλόκληρος μένειν ἡ ἐννεάς.
§29
καὶ ἄλλως, εἴπερ ἀπὸ τῆς δεκάδος γίνεται ἡ τῆς μονάδος ἆρσις, ἤτοι ἀπὸ οὔσης γίνεται τῆς δεκάδος ἆρσις ἢ ἀπὸ μὴ οὔσης οὔτε δὲ ἀπὸ τῆς οὕσης γένοιτʼ ἄν (ἐφʼ ὅσον γὰρ μένει χρόνον δεκάς, οὐδὲν ἀπʼ αὐτῆς ἀφαιρεθῆναι δύναται ὡς δεκάδος,
§30.1
ἐπεὶ οὐκέτι ἔσται δεκάς) οὔτε ἀπὸ μὴ οὔσης ἀπὸ γὰρ τοῦ μὴ ὄντος οὐδὲ ἀρθῆναί τι πέφυκεν. καὶ 〈μὴν〉 παρὰ τὸ εἶναι ἢ μὴ εἶναι οὐδὲν ἔστι νοῆσαι· οὐκ ἄρα αἴρεταί τι ἀπὸ τῆς δεκάδος.
§30.2
Ἀλλʼ ὅτι μὲν ἀμήχανόν ἐστι κατ᾿ ἀφαίρεσιν ἀριθμόν τινα νοεῖν,
§31
ἐκ τούτων δέδεικται· ὅτι δὲ οὐδὲ κατὰ πρόσ- θεσιν, ῥᾴδιον δεῖξαι τῶν ἀναλόγων ἐχομένους ἀποριῶν. πάλιν γὰρ μονάδος προστιθεμένης δεκάδι ἤτοι τῇ ὅλῃ δεκάδι ῥητέον γίνεσθαι τὴν πρόσθεσιν ἢ τῷ τελευταίῳ μέρει τῆς δεκάδος. ἀλλʼ εἰ μὲν ὅλῃ τῇ δεκάδι προστίθε- ται ἡ μονάς, ἐπεὶ ἡ ὅλη δεκὰς σὺν πάσαις ταῖς κατὰ μέρος μονάσι νοεῖται, δεήσει τὴν τῆς μονάδος πρόσθεσιν γινομένην πάσαις ταῖς κατὰ μέρος μονάσι δεκάδος εἶναι πρόσθεσιν,
§32
ὅπερ ἄτοπον ἀκολουθήσει γὰρ τῇ τῆς μονά- δος προσθέσει τὴν δεκάδα εἰκοσάδα γίνεσθαι, ὃ τῶν ἀμη- χάνων ὑπῆρχεν. οὐ τοίνυν ὅλῃ τῇ δεκάδι τὴν μονάδα προστίθεσθαι ῥητέον. καὶ μὴν οὐδὲ τῷ τελευταίῳ μέρει τῆς δεκάδος, ἐπεὶ οὐκ αὐξηθήσεται ἡ δεκὰς διὰ τὸ μὴ τὴν τοῦ ἑνὸς μέρους αὔξησιν εὐθὺς καὶ τῆς ὅλης δεκάδος αὔξησιν εἶναι.
§33
[καὶ] καθόλου τε ἐπὶ πᾶσιν, ἢ μενούσῃ τῇ δεκάδι προστίθεται ἡ μονὰς ἢ μὴ μενούσῃ. οὔτε δὲ με- νούσῃ προστεθείη ποτʼ ἄν, ἐπεὶ οὐκέτι μένει δεκάς, οὔτε μὴ μενούσῃ· τὴν γὰρ ἀρχὴν μὴ μενούσῃ οὐδὲ πρόσθεσις δύναται γενέσθαι.
§34
Ἀλλʼ εἴπερ ὁ ἀριθμὸς κατὰ πρόσθεσιν, ὡς ἔφην, καὶ κατ᾿ ἀφαίρεσιν ὑφιστάμενος νοεῖται, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐθέτερόν ἐστι τούτων, ῥητέον μηδὲν εἶναι ἀριθμόν. ὅθεν τοσαῦτα καὶ πρὸς τοὺς γεωμέτρας καὶ ἀριθμητικοὺς ἀπορητικῶς διεξελθόντες ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς καὶ τὴν πρὸς τοὺς μαθηματικοὺς ἀντίρρησιν ποιησόμεθα.
Tap any Greek word to look it up