Adversus Mathematicos — ΠΡΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΑΣ

§1 Ἐπεὶ οἱ γεωμέτραι συνορῶντες τὸ πλῆθος τῶν ἐπα- κολουθούντων αὐτοῖς ἀποριῶν εἰς ἀκίνδυνον εἶναι δοκοῦν καὶ ἀσφαλὲς πρᾶγμα καταφεύγουσι, τὸ ἐξ ὑποθέσεως αἰ- τεῖσθαι τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς, καλῶς ἂν ἔχοι καὶ ἡμᾶς τῆς πρὸς αὐτούς ἀντιρρήσεως ἀρχὴν τίθεσθαι τὸν περὶ τῆς ὑποθέσεως λόγον.

§2 καὶ γὰρ ὁ Τίμων (B 75 Diels PPF) ἐν τοῖς πρὸς τοὺς φυσικοὺς τοῦτο ὑπέλαβε δεῖν ἐν πρώτοις ζητεῖν, φημὶ δέ τὸ εἰ ἐξ ὑπσθέσεώς τι ληπτέον. διόπερ καὶ ἡμᾶς οἰκεῖόν ἐστιν ἐκείνῳ στοιχοῦντας τὸ παραπλήσιον ποιεῖν ἐν τῇ πρὸς τοὺς ἀπὸ τῶν μαθημάτων διεξόδῳ.

§3 τάξεως δὲ ἕνεκα προληπτέον ὅτι πολλαχῶς μὲν καὶ ἄλλως ὑπόθεσις προσαγορεύεται, τὰ νῦν δὲ ἀπαρκέσει τριχῶς λέγεσθαι, καθʼ ἕνα μὲν τρόπον ἡ δραματικὴ περι- πέτεια, καθὸ καὶ τραγικὴν καὶ κωμικὴν ὑπόθεσιν εἶναι λέγομεν καὶ Δικαιάρχου τινὰς ὑποθέσεις τῶν Εὐριπίδου καὶ Σοφοκλέους μύθων, οὐκ ἄλλο τι καλοῦντες ὑπόθεσιν ἢ τὴν τοῦ δράματος περιπέτειαν.

§4 καθʼ ἕτερον δὲ σημαι- νόμενον ὑπόθεσις προσαγορεύεται ἐν ῥητορικῇ 〈ἡ〉 τῶν ἐπὶ μέρους ζήτησις, καθὸ καὶ οἱ σοφισταὶ πολλάκις εἰώ- θασιν ἐν ταῖς διατρι | βαῖς λέγειν ῾ θετέον ὑπόθεσιν.ʼ οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ κατὰ τρίτην ἐπιβολὴν ὑπόθεσιν καλοῦμεν ἀρχὴν ἀποδείξεως, αἴτησιν οὖσαν πράγματος εἰς κατα- σκευήν τινος.

§5 οὕτω γοῦν τρισὶν ὑποθέσεσι κεχρῆσθαί φαμεν τὸν Ἀσκληπιάδην εἰς κατασκευὴν τῆς τὸν πυρετὸν ἐμποιούσης ἐνστάσεως, μιᾷ μὲν ὅτι νοητοί τινές εἰσιν ἐν ἡμῖν πόροι, μεγέθει διαφέροντες ἀλλήλων, δευτέρᾳ δέ ὅτι πάντοθεν ὑγροῦ μέρη καὶ πνεύματος ἐκ λόγῳ θεω- ρητῶν ὄγκων συνηράνισται διʼ αἰῶνος ἀνηρεμήτων, τρίτῃ δέ ὅτι ἀδιάλειπτοί τινες εἰς τὸ ἐκτὸς ἐξ ἡμῶν ἀποφοραὶ γίνονται, ποτὲ μὲν πλείους ποτὲ δέ ἐλάττους πρὸς τὴν ἐνεστηκυῖαν περίστασίν.

§6 Ἀλλὰ γὰρ τοσαυταχῶς νοουμένης [τὰ νῦν] τῆς ὑπσθέ- σεως, πρόκειται τὰ νῦν ζητεῖν οὐ μὰ Δία περὶ τῆς δρα- ματικῆς διατάξεως, οὐδέ περὶ τῆς παρὰ τοῖς ῥήτορσι ζητήσεως, ἀλλὰ περὶ τῆς ἐν τέλει λεχθείσης ὑποθέσεως, ἣν ἀρχὴν ἀποδείξεως συμβέβηκεν εἶναι ταύτην γὰρ καὶ οἱ γεωμέτραι λαμβάνουσι τὴν ὑπόθεσιν, βουλόμενοί τι γεωμετρικῶς ἀποδεῖξαι.

§7 διόπερ εὐθὺς ῥητέον ὅτι καὶ ἐπεὶ οἱ ἐξ ὑπσθέσεως λαμβάνοντές τι καὶ χωρὶς ἀποδείξεως ψιλῇ μόνον ἀρκοῦνται φάσει πρὸς τὴν ταύτης πίστιν, πεύσεταί τις αὐτῶν τοιούτῳ τινὶ χρώμενος ἐπιλογισμῷ.

§8 ἤτοι ἰσχυρόν ἐστι καὶ βέβαιον πρὸς πίστιν τὸ ἐξ ὑπο- θέσεως τι λαβεῖν ἢ ἄπιστόν τε καὶ ἀσθενές. ἀλλʼ εἰ μὲν ἰσχυρόν, καὶ τὸ ἀντικείμενον ἐξ ὑποθέσεως ληφθὲν πι- στὸν γενήσεται καὶ βέβαιον, ὥστε θήσομεν τὰ μαχόμενα. εἰ δὲ ἐπὶ τοῦ τὸ ἐναντίον ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντος χωρίς ἀποδείξεως ἄπιστόν ἐστιν ἡ ὑπόθεσις, ἄπιστος γενήσεται καὶ ἐπʼ ἐκείνου, ὥστε οὐδέτερον αὐτῶν θήσομεν. οὐ τοίνυν ληπτέον ἐστὶν ἐξ ὑποθέσεως τι.

§9 καὶ μὴν τὸ ὑποτιθέμενον πρᾶγμα ἤτοι ἀληθές ἐστι καὶ τοιοῦτον ὁποῖον αὐτὸ ὑπο- τιθέμεθα ἢ ψεῦδος. ἀλλʼ εἰ μὲν ἀληθές ἐστι, μηδὲ αἰτώ- μεθα αὐτό, εἰς πρᾶγμα ὑποψίας πλῆρες κατα |φεύγοντες, τὴν ὑπόθεσιν, ἀλλʼ αὐτόθεν λαμβάνωμεν, ἐπείπερ οὐθεὶς τἀληθῆ καὶ ὄντα ὑποτίθεται, καθάπερ οὐδὲ τὸ νῦν ἡμέραν εἶναι ἢ ἐμέ διαλέγεσθαι καὶ ἀναπίνεῖν ἡ γὰρ περιφάνεια τούτων τῶν πραγμάτων αὐτόθεν βέβαιον ἔχει τὴν θέσιν καὶ οὐ δισταζομένην τὴν ὑπόθεσιν. ὥστε εἰ ἀληθές ἐστι τὸ πρᾶγμα, μηδὲ αἰτώμεθα αὐτὸ ὡς μὴ ὄν ἀληθές.

§10 εἰ δʼ οὔκ ἐστι τοιοῦτο ἀλλὰ ψεῦδος καθέστηκεν, οὐδὲν ὄφελος ἀνακύψει ἐκ τῆς ὑποθέσεως· κἂν γὰρ μυριάκις αὐτὸ ὑπο- τιθώμεθα, σαθροῖς, ὥς φασι, θεμελίοις [οὐκ ] ἀκολουθή- σει τὸ συμπέρασμα τῆς ζητήσεως ἐξ ἀνυπάρκτων ὁρμω- μένης ἀρχῶν.

§11 οὐ μὴν ἀλλʼ εἴ τις οἷς ἄν ὑπσθῆται, τού- τοις τὰ ἀκολουθοῦντα πιστὰ τυγχάνειν ἀξιώσει, μήποτε πᾶσαν ἀναιρεῖ ζήτησιν. εὐθέως γὰρ ὑποθήσεται ἕκαστος ἡμῶν τὸ τὰ τρία τέσσαρα εἶναι, καὶ τούτου δοθέντος συν- άξει ὅτι καὶ τὰ ἓξ ὀκτώ ἐστιν εἰ γὰρ τὰ τρία τέσσαρά ἐστι, τὰ ἕξ ῥκτὼ γενήσεται ἀλλὰ μὴν τὰ τρία τέσσαρά ἐστιν, ῾ος ἡ ὑπόθεσις δίδωσιν τὰ ἄρα ἕξ ὀκτώ ἐστιν. πάλιν τε αἰτήσομεν ὅτι μένει τὸ κινούμενον,

§12 καὶ συγχω- ρηθέντος τοῦ πράγματος συνάξομεν ὅτι ἡ φλὀξ ἠρεμεῖ· εἰ γὰρ τὸ κινούμενον μένει, ἡ φλὸξ ἠρεμεῖ· τὸ δέ γε κινούμενον μένει, 〈ὡς ἡ ὑπόθεσις δίδωσιν〉 ἡ ἄρα φλὸξ ἠρεμεῖ. ἀλλʼ ὃν τρόπον οἱ γεωμέτραι ἀτόπους ἐροῦσιν εἶναι ταύτας τὰς ὑποθέσεις (βέβαιον γὰρ εἶναι δεῖ τὸν θεμέλιον, ἵνα συνομολογηθῇ καὶ τὸ ἀκόλουθον), οὕτω καὶ ἡμεῖς πάντα τὰ ὑποθετικῶς αὐτοῖς λαμβανόμενα οὐ προσ- ησόμεθα χωρὶς ἀποδείξεως.

§13 ἄλλως τε, εἰ βέβαιόν ἐστι καὶ πιστὸν τὸ ὑποτιθέμενον ἧ ὑποτίθεται, μὴ ταῦτα ὑπο- τιθέσθωσαν ἐξ ὧν ἀποδείξουσί τι, ἀλλʼ αὐτὸ τὸ ἀποδεικ- νύμενον, τουτέστι μὴ τὰ λήμματα τῆς ἀποδείξεως ἀλλὰ τὴν ἐπιφοράν ὃ γὰρ δύναται πρὸς πίστιν αὐτοῖς ἐπὶ τῶν ἐκκαλυπτόντων ἡ ὑπόθεσις, τοῦτο δυνήσεται καὶ ?? τῶν ἐκκαλυπτομένων ἐκ τῆς ἀποδείξεως πραγμάτων. | εἰ δʼ ἄπιστόν ἐστι, κἂν πολλάκις ὑποτεθῇ, τὸ τῆς ἀποδείξεως συμπέρασμα χωρὶς ἀποδείξεως, ἄπιστον γενήσεται καὶ τὸ εἰς κατασκευὴν τούτου λαμβανόμενον, εἰ μὴ διʼ ἀπο- δείξεως διδάσκοιτο.

§14 νὴ Δίʼ, ἀλλʼ εἴπερ, φασί, τὸ ἀκολου- θοῦν ταῖς ὑποθέσεσιν ἀληθὲς εὑρίσκεται, πάντως καὶ τὰ ὑποτεθέντα, τουτέστιν οἷς ἐπηκολούθησεν, ἀληθῆ γενή- σεται. ὃ πάλιν ἐστὶν εὔηθες πόθεν γὰρ ὅτι τὸ ἀκολου- θοῦν τισιν ἐν ἀποδείξει πάντως ἀληθές ἐστιν; ἢ γὰρ ἐξ αὐτοῦ μαθόντες ἐκείνου τοῦτʼ ἐροῦσιν, ἐκ τῶν οἷς ἠκο- λούθησε λημμάτων.

§15 ἀλλʼ ἐξ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἂν εἴποιεν. ἄδηλον γάρ ἐστι, τὸ δὲ ἄδηλον ἐξ αὑτοῦ πιστὸν οὐκ ἔστιν ἀποδεικνύναι γοῦν τοῦτο ἐπιβάλλονται ὡς μὴ ἐν αὑτῷ τὴν πίστιν ἔχον. καὶ μὴν οὐδʼ ἐκ τῶν λημμάτων· περὶ γὰρ τούτων ἐστὶν ἡ πᾶσα διαμάχη, καὶ μηδέπω αὐτῶν πεπιστευμένων οὐδέ τὸ ἀποδεικνύμενον ἐξ αὐτῶν βέβαιον εἶναι δύναται.

§16 ἔτι οὐδʼ ἂν τὸ λῆγον ᾖ ἀληθές, εὐθὺς καὶ τὸ ἡγούμενόν ἐστι τοιοῦτον. ὥσπερ γὰρ τῷ ἀληθεῖ πέ- φυκεν ἀληθές ἐπακολουθεῖν καὶ ψεύδει ψεῦδος, οὕτως ἠξίωται καὶ ψεύδει ἀληθὲς συνεισάγεσθαι, καθάπερ [ἐν] τῷ πέτασθαι τὴν γῆν, ψεύδει ὄντι, τὸ εἶναι τὴν γῆν ἀλη- θὲς ὑπάρχον εἵπετο.

§17.1 ὅθεν οὐκ εἰ τὸ λῆγόν ἐστιν ἀληθές, πάντως καὶ τὸ ἡγούμενον ἀληθές, ἀλλʼ ἐνδέχεται τοῦ λήγοντος ἀληθοῦς ὄντος τὸ ἡγούμενον ὑπάρχειν ψεῦδος.

§17.2 Καὶ δὴ ὅτι μὲν οὐκ εὖ ποιοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημά- των ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντες τὰς ἀρχὰς τῆς ἀποδεί- ξεως καὶ ἑκάστου θεωρήματος, ἐπιφθεγγόμενοι τὸ ῾δεδό- σθωʼ, διὰ τούτων αὐταρκως κατεσκεύασται·

§18 μετελθόντες δὲ ἑξῆς διδάσκωμεν ὅτι ψευδεῖς καὶ ἀπιθάνους αὐτῶν συμβέβηκεν εἶναι τὰς ἀρχὰς τῆς τέχνης. καὶ δὴ πολλῶν εἰς τοῦτο δυναμένων λέγεσθαι, ὡς ἐναρχόμενοι τῆς ὑφη- γήσεως εἴπομεν, τούτοις προσαχθήσεται τὰ τῆς ἀπορίας ὧν ἀναιρουμένων καὶ τὰ λοιπὰ συναναιρεθήσεται. ἐπεὶ οὖν τῶν ἀρχῶν διαβληθεισῶν οὐδέ αἱ κατὰ μέρος ἀπο- δείξεις αὐτοῖς δύνανται προκόπτειν, λέγωμεν τὰ ἁρμό- ζοντα πρὸς τὰς ἀρχάς.

§19.1 Εὐθέως τοίνυν ὡς πρῶτόν τι καὶ στοιχειωδέστατον δι- δάσκουσιν ἡμᾶς ὅτι σῶμα μέν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ὧν πρώτη μὲν διάστα- σίς ἐστιν ἡ κατὰ μῆκος ἄνωθεν κάτω, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πλάτος ἀπὸ δεξιῶν ἐπʼ ἀριστερά, τρίτη δὲ ἡ κατὰ βάθος ἀπὸ τῶν πρόσω εἰς τοὐπίσω. ὥστε 〈ὄν〉των τριῶν τούτων ἓξ γίνεσθαι παρατάσεις, δύο καθʼ ἑκάστην, τῆς μὲν πρώτης τὴν ἄνω καὶ κάτω, τῆς δὲ δευτέρας τὴν ἐν ἀριστερᾷ καὶ ἐν δεξιᾷ, τῆς δὲ τρίτης τὴν πρόσω καὶ ὀπίσω.

§19.2 Στιγμῆς μὲν γὰρ ῥυείσης γραμμὴν γίνεσθαί φασι, γραμ- μῆς δʼ ἐπιφάνειαν, ἐπιφανείας δὲ στερεὸν σῶμα.

§20 παρὸ καὶ ὑπογράφοντες λέγουσι στιγμὴν μὲν εἶναι σημεῖον ἀμε- ρὲς καὶ ἀδιάστατον ἢ πέρας γραμμῆς, γραμμὴν δέ μῆκος ἀπλατὲς ἢ πέρας ἐπιφανείας, ἐπιφάνειαν δὲ πέρας σώ- ματος ἢ πλάτος ἀβαθές.

§21 τάξει οὖν ἀναλαβόντες περὶ στιγ- μῆς λέγωμεν πρῶτον, εἶτα περὶ γραμμῆς, τὸ δὲ μετὰ τοῦτο περὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος· τούτων γὰρ ἀναι- ρουμένων οὐδʼ ἡ γεωμετρία γενήσεται τέχνη, μὴ ἔχουσα τὰ ἐφʼ οἷς ἡ σύστασις αὐτῆς δοκεῖ προκόπτειν.

§22 Ἡ τοίνυν στιγμή, ἥν φασι σημεῖον ἀδιάστατον ὑπ- άρχειν, ἤτοι σῶμα νοεῖται ἢ ἀσώματον. καὶ σῶμα μέν οὐκ ἂν εἴη κατ’ αὐτούς· τὰ γὰρ μὴ ἔχοντα διάστασιν οὐε ἦν σώματα. λείπεται οὖν ἀσώματον αὐτὴν ὑπάρχειν, ὃ πάλιν ἐστὶν ἀπίθανον. τὸ μέν γὰρ ἀσώματον οὐδενὸς νοεῖται γεννητικὸν ὡσανεὶ ἀθιγὲς καθεστώς, ἡ δὲ στιγμὴ νοεῖται τῆς γραμμῆς γεννητική· οὐ τοίνυν ἐστὶ σημεῖον ἀδιάστατον ἡ στιγμή.

§23 καὶ μὴν εἴπερ (Ana xag. fr. B 21a Diels) ὄψις τῶν ἀδήλων ἐστὶ τὰ φαμινόμενα, ἐπεὶ οὐ δυνατὸν ἐν τοῖς φαινομένοις | λαβεῖν τινος σημεῖον καὶ πέρας ἀδιάστατον, δῆλον ὡς οὐδʼ ἐν τοῖς νοητοῖς ληφθή- σεταί τι τοιοῦτον. ἐν δέ γε τοῖς αἰσθητοῖς οὐδὲν ἔστιν ἀδιάστατον λαβεῖν, ὡς παραστήσω ὥστʼ οὐδʼ ἐν τοῖς νοητοῖς.

§24 πᾶν τοίνυν τὸ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς ὑποπῖπτόν τινος πέρας καὶ σημεῖον σὺν τούτῳ καταλαμβάνεταί τινος ἄκρον, σὺν τῷ καὶ μέρος ἐκείνου, οὗπέρ ἐστιν ἄκρον, ὑπάρχειν· ἐὰν γοῦν ἀφέλωμεν αὐτό, μειωθήσεται τὸ ἀφʼ οὖ ἡ ἀφαίρεσις. τὸ δέ μέρος τινὸς ὑπάρχον εὐθὺς καὶ συμπληρωτικὸν αὐτοῦ καθέστηκεν, ὃ δέ ἐστί τινος συμ- πληρωτικόν, πάντως αὔξει τὸ μῆκος ἐκείνου, καὶ ὃ ἐστι μεγέθους αὐξητικόν, τοῦτο ἐξ ἀνάγκης ἔχει μέγεθος.

§25 πᾶν ἄρα τὸ ἐν τοῖς αἰσθητοῖς σημεῖόν τινος καὶ ἄκρον μέγε- θος ἔχον οὐκ ἔστιν ἀδιάστατον. ὅθεν εἰ καὶ τὸ νοητὸν μεταβατικῶς ἀπὸ τοῦ αἰσθητοῦ νοοῦμεν, σὺν τούτῳ καθ- εστὼς σημεῖον καὶ πέρας γραμμῆς αὐτὸ νοήσομεν, σὺν τῷ καὶ 〈συμ 〉πληρωτικὸν αὐτῆς ὑπάρχειν, ὥστε καὶ αὐτὸ διάστασιν ἕξει πάντως, ὃ γε διαστάσεώς ἐστι περιποιη- τικόν.

§26 ἄλλως τε τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐκβληθεῖσαν εὐ- θεῖάν φασι περιαγομένην τῷ πέρατι ἑαυτῆς κυκλογραφεῖν τὴν ἐπίπεδον. ἐπεὶ οὖν τὸ ἄκρον ταύτης τῆς εὐθείας ἐστὶ σημεῖον, καὶ τοῦτο περιαγόμενον καταμετρεῖ τὴν περιφέ- ρειαν, ἔσται τοῦτο συμπληρωτικὸν τῆς περιφερείας· ἡ δέ γε περιφέρεια διάστασιν εἶχεν· τοίνυν καὶ τὸ συμπλη- ρωτικὸν αὐτῆς σημεῖον ἕξει τινὰ διάστασιν.

§27 ἣ γε μὴν σφαῖρα καθʼ ἓν σημεῖον ἀξιοῦται τῆς ἐπιπέδου ἅπτεσθαι, ἐκκυλιομένη τε γραμμὴν ποιεῖν, δῆλον ὡς τῶν ἐπικατα- πιπτόντων σημείων τὴν ὅλην συντιθέντων γραμμήν. τοί- νυν εἰ τοῦ μεγέθους τῆς γραμμῆς συμπληρωτικόν ἐστι τὸ σημεῖον, ἕξει καὶ αὐτὸ μέγεθος. συγκεχώρηται δὲ τοῦ μεγέθους τῆς γραμμῆς συμπληρωτικὸν αὐτὸ τυγχάνειν· καὶ αὐτὸ ἄρα μέγεθος ἕξει καὶ οὐκ ἀδιάστατον γενήσεται.

§28 Ἀλλʼ εἰώθασι πρὸς τὰς τοιαύτας ἐπιχειρήσεις ὑπαν- τῶντες οἱ περὶ τὸν Ἐρατοσθένη λέγειν ὅτι τὸ σημεῖον οὔτε ἐπιλαμβάνει τινὰ τόπον οὔτε καταμετρεῖ τὸ διάστημα τῆς γραμμῆς, ῥυὲν δέ ποιεῖ τὴν γραμμήν. ὅπερ ἐστὶν ἀδιανόητον. ῥεῖν γὰρ νοεῖται τὸ ἀπό τινος τόπου εἴς τινα τόπον ἐπεκτείνεσθαι, ὥσπερ τὸ ὕδωρ. εἰ δὴ τοιοῦτόν τι φαντασιούμεθα τὸ σημεῖον, ἀκολουθήσει οὐχ οἷον ἀμερές αὐτὸ τυγχάνειν, ἀλλʼ ἐκ τῶν ἐναντίων πολυμερές. Τοσαῦτα μὲν περὶ στιγμῆς,

§29 ἴδωμεν δὲ παρακειμένως καὶ τὰ περὶ γραμμῆς ὀφείλοντα λέγεσθαι αὕτη γὰρ μετὰ τὴν στιγμὴν ἐτέτακτο. 〈λεκτέον〉 τοίνυν, ὅτι, κἄν δσθῇ στιγμή τις ὑπάρχειν, οὐκ ἔσται ἡ γραμμή. εἰ γὰρ αὕτη ῥύσις ἐστὶ σημείου καὶ μῆκος ἀπλατές, ἤτοι ἓν ἐστι ση- μεῖον εἰς μῆκος ἐκτεταμένον ἢ πολλὰ 〈ἀ〉διάστατα στοί- χῳ κείμενα·

§30 οὔτε δὲ ἕν ἐστιν εἰς μῆκος ἐκτεταμένον, ὡς παραστήσομεν, οὔτε πολλὰ σημεῖα στοίχωῳ κείμενα, κα- θὼς καὶ τοῦτο ὑπομνήσομεν· οὐκ ἄρα ἔστι γραμμή. εἰ γὰρ ἕν ἐστι [τὸ] σημεῖον, ἤτοι τοῦτο τὸ σημεῖον ἕνα μόνον ἐπέχει τόπον, ἢ μετατίθεται τόπον ἐκ τόπου, ἤ ἐπεκτείνεται ἀπό τινος τόπου εἴς τινα τόπον.

§31 ἀλλʼ εἰ μὲν ἑνὶ ἐμπεριέχεται τόπῳ, οὐκ ἔσται γραμμὴ ἀλλὰ στιγμή· ῥυὲν γὰρ ἐνοεῖτο γραμμή. εἰ δὲ τόπον ἐκ τόπου μετέρχε- ται, ἤτοι, ὡς προεῖπον, ὃν μὲν ἀπολεῖπον ὅν δὲ ἐπιλαμ- βάνον μετέρχεται, ἢ οὖ μὲν ἐχόμενον τόπου εἰς ὃν δέ ἐκτεινόμενον. ἀλλʼ εἰ ὃν μὲν ἀπολεῖπον ὅν δὲ ἐπιλαμβάνον, πάλιν οὐκ ἔσται γραμμὴ ἀλλὰ στιγμή.

§32 ᾧ γὰρ λόγῳ τόπον πρῶτον ἐπεσχηκὸς στιγμή τις ἀλλʼ οὐ γραμμὴ ἐνοεῖτο, τῷ αὐτῷ καὶ τὸν δεύτερον ἐπιλαμβάνον τόπον νοηθήσεται στιγμή. εἰ δὲ οὗ μὲν ἐχόμενον τόπου εἰς ὃν δέ ἐκτεινό- μενον, ἤτοι μεριστῷ τόπῳ ἀντιπαρεκτείνεται ἢ ἀμερίστῳ.

§33 καὶ εἰ μὲν ἀμερίστῳ τόπῳ ἀντιπαρεκτείνεται, πάλιν οὐκ ἔσται γραμμὴ ἀλλὰ στιγμὴ καὶ σημεῖον τὸ γὰρ ἀμερῆ τόπον ἐπεσχη κὸς ἀμερές ἐστιν, ὃ δέ ἐστιν ἀμερές, στιγμὴ καὶ οὐ γραμμὴ καθέστηκεν. εἰ δὲ μεριστῷ, πάντως ἐπεὶ τὸ 〈μεριστῷ ἀντιπαρεκτεινόμενον τόπῳ ὀφεῖλον καὶ αὐτὸ εἶναι〉 μεριστὸν, μέρη ἔχει, εἴγε ἅπαντι παρεκτείνεται τῷ τόπῳ, τὸ δὲ μέρη ἔχον, οἷς ἀντιπαρεκτείνεται τοῖς τοῦ τόπου μέρεσι, σῶμά ἐστιν, ἔσται τὸ σημεῖον καὶ μεριστὸν καὶ σῶμα· ὅπερ ἄτοπον.

§34 ὥστε οὐχ ἕν ἐστι σημεῖον ἡ γραμμή. καὶ μὴν οὐδέ[τὰ ]πολλὰ σημεῖα στοιχηδὸν κεί- μενα. ταῦτα γὰρ τὰ σημεῖα ἤτοι ψαύοντα ἀλλήλων νοεῖται ἢ οὐ ψαύοντα. καὶ εἰ μέν ϲὐ ψαύοντα ἀλλήλων, μεσο- λαβούμενα τόποις τισὶ διορισθήσεται, καὶ τόποις διορι- ζόμενα οὐκέτι ποιήσει μίαν γραμμήν.

§35 εἰ δέ ψαύοντα ἀλ- λήλων νοοῖτο, ἤτοι ὅλα ὅλων ἅψεται ἢ μέρεσι μερῶν. καὶ εἰ μέν μέρεσι μερῶν ἅψεται, οὐκ ἔσται αὐτὰ ἔτι ἀδιά- στατα καὶ ἀμερῆ· τὸ γὰρ μέσον δυοῖν σημείων λόγου χάριν νοούμενον σημεῖον ἄλλῳ μὲν μέρει ἅψεται τοῦ ἔμπροσθεν σημείου, ἄλλῳ δὲ τοῦ ὄπισθεν, οὐ τῷ αὐτῷ δὲ τῆς ἐπιπέδου, διαφέροντι δὲ τοῦ ἄλλου τόπου, ὥστε μηκέτ’ αὐτὸ ταῖς ἀληθείαις ἀμερὲς τυγχάνειν ἀλλὰ πολυ- μερές.

§36 εἰ δὲ ὅλα ὅλων ἅψαιτο σημεῖα, δῆλον ὡς ἐν σημείοις σημεῖα περισχεθήσεται καὶ τὸν αὐτὸν ἐφέξει τόπον· ταύτῃ τε οὐκ ἔσται στοιχηδὸν κείμενα, ἵνα γένηται γραμμή, ἀλλʼ εἰ τὸν αὐτὸν ἐπέσχηκε τόπον, μία καταστήσεται στιγ- μή. εἴπερ οὖν, ἵνʼ ἐπινοηῦῇ γραμμή,δεῖ προ[σ ]επινοεῖσθαι τὸ σημεῖον ἐξ οὖ λαμβάνει τὴν νόησιν, ἐπιδέδεικται δὲ μήτε σημεῖον οὖσα μήτε ἐκ σημείων σύνθετος, οὐδὲν ἔσταμι γραμμή.

§37 Καί μὴν πάρεστιν ἀποστάντας τῆς τοῦ σημείου νοή- σεως προηγουμένως ἀναιρεῖν τὴν γραμμὴν καὶ τὸ ἀνεπι- νόητον αὐτῆς διδάσκειν. γραμμὴ γάρ ἐστιν, ὡς αὐτῶν πάρεστιν ἀκούειν τῶν γεωμετρῶν, μῆκος ἀπλατές, σκεψά- μενοι δὲ ἡμεῖς ἀκριβῶς οὔτε ἐν τοῖς νοητοῖς οὐτε ἐν τοῖς αἰσθητοῖς εὑρήσομεν δυνάμενόν τι ληφθῆναι μῆκος ἀπλα- τές.

§38 καὶ ἐν μὲν τοῖς αἰσθητοῖς, ἐπείπερ ὃ ἄν λάβωμεν | αἰσθητὸν μῆκος, τοῦτο πάντῃ τε καὶ πάντως σὺν ποσῷ πλάτει ληψόμεθα ἐν δὲ τοῖς νοητοῖς,

§39 καθόσον ἕτερον μέν ἑτέρου στενώτερον δυνάμεθα νοῆσαι μῆκος, ὅταν δὲ τὸ αὐτὸ μῆκος κατ’ ἰσότητα φυλάττοντες σχίζωμεν ταῖς ἐπινοίαις τὸ πλάτος καὶ ἄχρι τινὸς τὸ αὐτὸ ποιῶμεν, ἔλατ- τον μέν τὸ πλάτος καὶ ἔλαττον γινόμενον νοήσομεν, ἐπει- δὰν δέ ἅπαξ φθάσωμεν στερῆσαι τοῦ πλάτους τὸ μῆκος, οὐκέτι οὐδὲ μῆκος φαντασιούμεθα, ἀλλʼ ἀναιρεῖται καὶ ἡ τοῦ μήκους ἐπίνοια.

§40 καθόλου τε πᾶν τὸ νοούμενον κατὰ δύο τοὺς πρώτους ἐπινοεῖται τρόπους· ἢ γὰρ κατὰ περί- πτωσιν ἐναργῆ ἢ κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν, καὶ ταύτην τρισσήν· ἢ γὰρ ὁμοιωτικῶς ἢ ἐπισυνθετικῶς ἢ ἀναλογιστικῶς. ἀλλὰ κατὰ μὲν περιπτωτικὴν ἐνάργειαν νοεῖται τὸ λευκὸν καὶ τὸ μέλαν καὶ γλυκὺ καὶ πικρόν, κατὰ δὲ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν ὁμοιωτικῶς μέν νοεῖται καθάπερ ἀπὸ τῆς Σωκράτους εἰκόνος Σωκράτης αὐτός,

§41 ἐπισυνθετικῶς δὲ καθάπερ ἀπὸ ἵππου καὶ ἀνθρώ- που ἱπποκένταυρος· ἵππεια γὰρ καὶ βρότεια μίξαντες μέλη ἐφαντασιώθημεν τὸν μήτε ἄνθρωπον μήτε ἵππον ἀλλʼ ἐξ ἀμφοτέρων σύνθετον ἱπποκένταυρον. ἀναλογιστικῶς δέ τι νοεῖται πάλιν κατὰ δύο τρόπους,

§42 ὁτὲ μὲν αὐξητικῶς ὁτὲ δέ μειωτικῶς, οἷον ἀπὸ τῶν κοινῶν ἀνθρώπων, οἷοι νῦν βροτοί εἰσιν, παραυξητικῶς μὲν ἐνοήσαμεν Κύκλωπα, ὃς οὐκ ἐῴκει ἀνδρί γε σιτοφάγῳ ἀλλὰ ῥίῳ ὑλήεντι, (Hom. ι 191) μειωτικῶς δὲ τὸν πυγμαῖον ἄνθρωπον, ὃς οὐχ ὑπέπεσεν ἡμῖν περιπτωτικῶς.

§43 τοσούτων δὴ νοήσεως ὄντων τρόπων, εἴπερ νοεῖταί τι ἀπλατές μῆκος, ἐξ ἀνάγκης ὀφείλει ἤτοι κατὰ περιπτωτικὴν ἐνάργειαν νοεῖσθαι ἢ κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν. ἀλλὰ κατὰ περιπτωτικὴν μὲν ἐνάργειαν οὐκ ἄν νοοῖτο οὐδενὶ γὰρ περιεπέσομεν μήκει χωρὶς πλάτους.

§44 λείπεται οὖν κατὰ τὴν ἀπὸ τῶν ἐναργῶν μετάβασιν λέγειν αὐτὸ νενοῆσθαι ὃ πάλιν τῶν ἀδυνατω- τάτων. εἰ γὰρ οὕτως ἐνοήθη, ἤτοι πάντως κατὰ ὁμοίωσιν ἢ κατὰ ἐπισύνθεσιν ἐνοεῖτο ἢ κατὰ ἀναλογίαν· κατ’ οὐ- δένα δὲ τούτων τῶν τρόπων εἰς ἔννοιαν ἐλθεῖν πέφυκεν, ὡς παραστήσομεν· οὐκ ἄρα νοεῖταί τι μῆκος ἀπλατές.

§45 αὐτίκα γὰρ κατὰ μέν τὴν ὁμοιότητα τῶν ἀμηχάνων ἐστὶ νοεῖν τι μῆκος ἀπλατές. οὐδὲν γὰρ ἔχομεν ἐν τοῖς φαινο- μένοις μῆκος χωρὶς πλάτους [νοούμενον], ἵνα νοήσωμεν ὅμοιόν τι τούτῳ μῆκος ἀπλατές.

§46 τὸ γάρ τινι ὅμοιον γι- νωσκομένῳ πάντως ἐστὶν ὅμοιον, τῷ δὲ μὴ γινωσκομένῳῃ οὐδὲ ὅμοιον εὑρεῖν δυνατόν. ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν ἐναργῶς ὑποπῖπτον ἡμῖν μῆκος χωρὶς πλάτους, οὐδὲ ὅμοιόν τι αὐτῷ δυνησόμεθα νοεῖν.

§47 καὶ μὴν οὐδὲ κατ’ ἐπισύνθεσιν οἷόν τέ ἐστι προβαίνειν τοῖς γεωμέτραις αὐτοῦ τὴν ἐπί- νοιαν· εἰπάτωσαν γὰρ ἡμῖν τίνα τῶν ἐκ περιπτώσεως ἐναργῶς γινωσκομένωον μετὰ τίνων συνθέντες νοήσομεν τὸ ἀπλατές μῆκος, ὡς πρότερον ἐπʼ ἀνθρώπου καὶ ἵππου ποιοῦντες ἐφαντασιούμεθα ἱπποκένταυρον.

§48 λείπεται οὖν ἐπὶ τὸν κατὰ ἀναλογιστικὴν αὔξησιν ἢ μείωσιν [τὸν ] τῆς νοήσεως αὐτοῖς τρόπον συμφεύγειν ὃ πάλιν τῶν ἀπόρων θεωρεῖται.

§49 τὰ γὰρ κατὰ ἀναλογίαν νοούμενα ἔχει τι κοι- νὸν πρὸς τὰ ἀφʼ ὧν νοεῖται, οἷον ἀπὸ τοῦ κοινοῦ μεγέ- θους τῶν ἀνθρώπων παραυξητικῶς ἐνοήσαμεν τὸν Κύ- κλωπα καὶ μειωτικῶς τὸν πυγμαῖον, ὥστε εἶναί τι κοινὸν τοῖς κατὰ ἀναλογίαν νοουμένοις πρὸς ἐκεῖνα τὰ ἀφʼ ὧν νοεῖται. οὐδὲν δʼ ἔχομεν κοινὸν τοῦ τε ἀπλατοῦς καὶ τοῦ σὺν πλάτει νοουμένου μήκους, ἵνʼ ἀπʼ ἐκείνου ὁρμηθέντες νοήσωμεν τὸ ἀπλατές μῆκος.

§50 μηδέ ἔχοντές τι κοινὸν αὐ- τῶν οὐδὲ κατὰ ἀναλογίαν ποιήσασθαι τὴν τοῦ ἀπλατοῦς μήκους νόησιν ἰσχύσομεν. ὅθεν εἰ ἕκαστον τῶν | νοουμέ- νων κατὰ τοὺς ἐκκειμένους νοεῖται τρόπους, δεδίδακται δὲ κατὰ μηδένʼ αὐτῶν νοούμενον τὸ ἀπλατές μῆκος, ἀν- επτινόητόν ἐστι τὸ ἀπλατές μῆκος.

§51 Ὅμως δʼ οὖν καὶ πρὸς τοὺς οὕτως ἐναργεῖς ἐλέγχους πειρῶνται κατὰ τὸ δυνατὸν ἀνδριζόμενοι λέγειν οἱ γεω- μέτραι ὅτι κατ’ ἐπίτασιν νοεῖται τὸ ἀπλατές μῆκος.

§52 λα- βόντες γοῦν ὁποιονδήποτε μῆκος σὺν ποσῷ πλάτει, φασὶν ὅτι μειοῦμεν κατʼ ἐπίτασιν τουτὶ τὸ πλάτος ἀεὶ καὶ μᾶλ- λον τὴν στενότητα ἐπιτείνοντες, εἶθʼ οὕτως τὸ κατ᾿ ἐπί- τασιν νοούμενον ἀπλατὲς εἶνοι μῆκος λέγομεν· εἰ γὰρ κατ᾿ ὀλίγον ἐλαττοῦται στενούμενον τὸ πλάτος κατ᾿ ἐπί- τασιν, ἐλεύσεταί ποτε καὶ εἰς ἀπλατὲς μῆκος, καταληξά- σης εἰς τοῦτο τῆς νοήσεως.

§53 ἀλλὰ μὴν ἐδείξαμεν, ἐρεῖ τις, ὅτι ἡ παντελὴς στέρησις τοῦ πλάτους ἀναίρεσίς ἐστι καὶ τοῦ μήκους. εἶτα τὸ κατ᾿ ἐπίτασίν τινος νοούμενον οὐχ ἕτερόν ἐστι τοῦ προεπινοηθέντος, ἀλλʼ αὐτὸ ἐκεῖνο ἐπι- τεταμένον.

§54 ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ ποσὸν ἔχοντος πλάτος κατ᾿ ἐπίτασιν στενότητος νοῆσαί τι θέλομεν, τὸ μὲν πάντῃ πάντως ἀπλατὲς μῆκος οὐκ ἐπινοήσομεν (ἑτερογενὲς γάρ ἐστι), στενὸν δέ τι ληψόμεθα πλάτος, ὥστε τὴν κατά- ληξιν τῆς νοήσεως εν ἐλαχιστοτάτῳ γενέσθαι πλάτει, πλὴν ὅμως πλάτει, τὸ δὲ μετὰ τοῦτο γενέσθαι τὴν ἐπι- βολὴν τῆς διανοίας εἰς ἑτερογενές, καὶ ὃ μήτε μῆκός ἐστι μήτε πλάτος.

§55 εἴπερ τε δυνατόν ἐστι μῆκός τι νοήσαντας σὺν ποσῷ πλάτει στερήσει τοῦ πλάτους λαβεῖν μῆκος ἀπλατές, ἐνδέξεταί ποτε κατὰ τὸν ὅμοιον τρόπον καὶ σάρκα σὺν τρωτῷ ἰδιώματι νοήσαντας στερήσει τοῦ τρω- τοῦ ἰδιώματος νοῆσαι ἄτρωτόν τε καὶ ἀπαθῆ σάρκα,

§56 δυ- νατὸν δὲ ἔσται καὶ σῶμα νοήσαντας μετὰ ἀντιτύπου ἰδιώ- ματος στερήσει τῆς ἀντιτυπίας λαβεῖν τι μὴ ἀντιτυποῦν σῶμα. ὅπερ τελέως ἐστὶν ἀδύνατον καὶ παρὰ τὴν κοινὴν τῶν ἀνθρώπων ἔννοιαν· τὸ γὰρ ἄτρωτον νοούμενον ἡμῖν οὐκέτι ἐστὶ σάρξ, ἐπείπερ σὺν τῷ τρωτῷ ἰδιώματι ἡ σὰρξ | ἐνοεῖτο ὡς σάρξ, καὶ τὸ μὴ ἀντιτυποῦν σῶμα οὐκέτι νοεῖται σῶμα· σὺν γὰρ τῷ ἀντιτύπῳ ἰδιώματι ἐνοεῖτο 〈τὸ〉 σῶμα, καθό ἐστι σῶμα. ὅθεν καὶ τὸ νοούμενον μῆ- κος χωρὶς πλάτους οὐκ ἂν εἴη μῆκος· σὺν γὰρ τῷ ποσὸν ἔχειν πλάτος τὸ μῆκος ὡς μῆκος νοεῖται.

§57 Ἀλλʼ ὅ γε Ἀριστοτέλης (fr. 29 Rose), καίπερ ποικί- λως κατασκευασθείσης τῆς τοῦ πράγματος ἀνεπινοησίας καὶ οὐκ ἐν ὀλίγῳ κειμένων ταράχῳ τῶν γεωμετρῶν, φησὶ μὴ ἀδιανόητον εἶναι τὸ ὑπὸ τούτων λεγόμενον μῆκος ἀπλα- τές, ἀλλὰ δύνασθαι χωρὶς πάσης περισκελείας εἰς ἔννοιαν ἡμῖν ἐλθεῖν. ἵστησι δὲ τὸν λόγον ἐπί τινος ἐναργεστέρου ὑποδείγματος καὶ σαφοῦς.

§58 τὸ γοῦν τοῦ τοίχου μῆκος, φησί, λαμβάνομεν μὴ συνεπιβάλλοντες αὐτοῦ τῷ πλάτει, διόπερ ἐνέσται καὶ τὸ παρὰ τοῖς γεωμέτραις λεγόμενον μῆκος χωρὶς πλάτους τινὸς ἐπινοεῖν, ἐπείπερ ὄψις τῶν ἀδήλων ἐστὶ τὰ φαινόμενα, πλανώμενος ἢ τάχα κατασο- φιζόμενος ἡμᾶς. ὅταν γὰρ τὸ τοίχου μῆκος χωρὶς πλά- τους νοῶμεν, οὐ χωρὶς ποντὸς πλάτους αὐτὸ νοοῦμεν, ἀλλὰ χωρὶς τοῦ περὶ τῷ τοίχῳ καθεστῶτος πλάτους.

§59 ὅθεν καὶ ἐνδέχεται συμπλέξαντας τὸ τοῦ τοίχου μῆκός τινι πλά- τει καὶ ὁτῳδηποτοῦν νόησιν αὐτοῦ ποιεῖσθαι ὥστε μῆκος λαμβάνεσθαι τὰ νῦν οὐ χωρὶς παντὸς πλάτους, καθάπερ ἀξιοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων, ἀλλὰ χωρὶς τοῦδέ τινος πλάτους. προύκειτο δὲ τῷ Ἀριστοτέλει παραστῆσαι οὐχ ὅτι τινὸς πλάτους ἀμοιρεῖ τὸ κατὰ τοὺς γεωμέτρας λεγό- μενον μῆκος, ἀλλʼ ὅτι παντὸς ἐστέρηται πλάτους· ὅπερ οὐκ ἀπέδειξεν.

§60 Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τούτων ἐπειδὴ δὲ οἱ γεωμέτραι καὶ πέρας ἐπιφανείας εἶναι λέγουσι τὴν γραμμήν, ὅ ἐστι μῆκος ἀπλατές, φέρε κοινότερον περὶ γραμμῶν ἅμα καὶ | ἐπιφανειῶν διαπορῶμεν· οὕτω γὰρ εὐδιάβλητος καὶ ὁ ἐπὶ τὸ σῶμα γενήσεται λόγος.

§61 εἰ γὰρ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, μῆκος ἀπλατὲς κοθεστῶσα, δῆλον ὡς ὅταν ἐπιφάνεια ἐπιφανείᾳ παρατεθῇ, ἤτοι παράλληλοι γε- νήσονται δύο γραμμαὶ ἢ μία ἀμφότεραι. καὶ εἰ μὲν κία αἱ δύο γραμμαὶ γίνονται, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐπιφάνεια πέρας σώματος, τῶν μὲν δυοῖν γραμμῶν μιᾶς ἅμα γινομένων γενήσονται καὶ αἱ δύο ἐπιφάνειαι μία ἐπιφάνεια, τῶν δὲ δυοῖν ἐπιφανειῶν μιᾶς ἐπιφανείας γενηθεισῶν ἐξ ἀνάγκης ἔσται καὶ τὰ δύο σώματα ἓν σῶμα, τῶν δὲ δυοῖν σωμάτων ἑνὸς γενομένων ἡ παράθεσις οὐκ ἔσται παράθεσις ἀλλʼ ἕνωσις. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.

§62 ἐπὶ τινῶν μὲν γὰρ σωμάτων δύναται ἡ παρά- θεσις ἕνωσις γίνεσθαι, καθάπερ ὕδατος καὶ τῶν ἐοικότων τούτῳ, ἐπὶ τινῶν δὲ οὐδαμῶς· καὶ γὰρ λίθος λίθῳ παρα- τιθέμενος καὶ σίδηρος σιδήρῳ καὶ ἀδάμας ἀδάμαντι κατὰ γραμμὴν οὐχ ἑνοῦνται. ὥστε οὐκ ἂν γένοιντο αἱ δύο γραμμαὶ μία γραμμή. καὶ γὰρ ἄλλως, εἰ ἕνωσίς ἐστι τῶν δύο γραμμῶν μιᾶς γενομένων καὶ σύμφυσις τῶν σωμά- των, ἐχρῆν τὸν χωρισμὸν γίνεσθαι μὴ κατὰ τὰ αὐτὰ αὐ- τῶν πέρατα ἀλλὰ κατὰ ἄλλα καὶ ἄλλα μέρη ἀποσπωμέ- νων, ὥστε καὶ φθορὰν συμβαίνειν. οὐχὶ δέ γε τοῦτο γινό- μενον θεωρεῖται, ἀλλὰ τὰ πέρατα τῶν σωμάτων καὶ πρὸ τῆς παραθέσεως καὶ μετὰ τὸν χωρισμὸν τοιαῦτά ἐστιν ὁποῖα καὶ ἐν τῇ παραθέσει ὄντα [πρότερον] ἐφαίνετο. οὐ τοίνυν αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται.

§63 οὐ μὴν ἀλλʼ εἴπερ αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται, δεήσει τὰ παρατιθέμενα ἀλλή- λοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ ἐλάσσω εἶναι· γεγόνασι γὰρ αἱ δύο μία, ἥτις ἓν ἔχειν ὀφείλει πέρας τε καὶ ἄκρον. οὐχὶ δέ γε τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ γίνεται ἐλάσ- σονα, ὥστε αἱ δύο γραμμαὶ οὐκ ἂν γένοιντο μία γραμμή.

§64 εἰ δὲ παράλληλοι γίνονται δύο γραμμαὶ κατὰ παράθε- σιν δυοῖν σωμάτων, τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γραμμῶν μεῖζον ἔσται τῆς μιᾶς γραμμῆς. εἰ δὲ τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γινόμενον γραμ- μῶν μεῖζόν ἐστι τῆς μιᾶς γραμμῆς, ἔχοι ἂν ἑκατέρα αὐτῶν πλάτος, ὃ μεθʼ ἑτέρας μείζονα ποιεῖ τὴν διάστασιν, καὶ οὕτως οὐκ ἔστιν ἀπλατὲς μῆκος ἡ γραμμή. δυοῖν οὖν θάτερον, ἢ ἀναιρεῖν δεῖ τὴν ἐνάργειαν, ἢ μενούσης ταύτης ἀθετεῖν τὴν τῶν γεωμετρῶν ἐπίνοιαν, καθʼ ἣν οἴονται τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν.

§65 Καὶ δὴ ταῦτα μὲν προηγουμένως ῥητέον ἐστὶν ἡμῖν πρὸς τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς· μεταβάντες δὲ διδά- σκωμεν ὅτι καὶ κατὰ τὰς ἐκείνων αὐτῶν ὑποθέσεις οὐχ οἷόν τε προβαίνειν τὴν ζήτησιν. ἀρέσκει τοίνυν αὐτοῖς τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ὡς καὶ ἀνώτερον (112, 26) ἐλέγομεν, στρεφομένην πᾶσιν αὐτῆς τοῖς μέρεσι κύκλους γράφειν· ᾧπερ θεωρήματι ὄντι συνεκτικωτάτῳ μαχόμενόν ἐστι τὸ τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν.

§66 ζητῶμεν δὲ τὸν τρόπον τοῦτον· εἰ γὰρ κατ᾿ αὐτοὺς πᾶν μέρος τῆς γραμ- μῆς ἔχει σημεῖον, τὸ δὲ σημεῖον στρεφόμενον κύκλον γράφει, δεήσει κατ᾿ αὐτούς, ὅταν ἡ εὐθεῖα γραμμὴ στρε- φομένη καὶ πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κυκλογραφοῦσα τὸ διάστημα καταμετρῇ 〈τὸ〉 τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐξωτάτης περιφερείας ἐπιπέδου, τότε ἤτοι συνεχεῖς ἀλλή- λοις ὑπάρχειν τοὺς καταγραφομένους κύκλους ἢ διεστῶ- τας ἀπʼ ἀλλήλων.

§67 ἀλλʼ εἰ μὲν διεστᾶσιν ἀπʼ ἀλλήλων, ἀκολουθήσει μέρος τι εἶναι τῆς ἐπιπέδου τὸ μὴ κυκλο- γραφούμενον, καὶ τῆς εὐθείας μέρος τὸ κατὰ τούτου μὲν φερόμενον τοῦ διαστήματος, μὴ κυκλογραφοῦν δέ. ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. ἢ γὰρ οὐκ ἔχει κατὰ τοῦτο τὸ μέρος ση- μεῖον ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ ἔχουσα οὐ καταγράφει κύκλον, ὧν ἑκάτερον παρὰ τὸν γεωμετρικόν ἐστι λόγον· καὶ πᾶν γὰρ | μέρος τῆς γραμμῆς σημεῖον ἔχειν φασί, καὶ πᾶν σημεῖον στρεφόμενον κυκλογραφεῖν.

§68 εἰ δὲ συνεχεῖς ἀλλή- λοις ὑπάρχειν οἴονται τοὺς κύκλους, ἤτοι οὕτως εἰσὶ συν- εχεῖς ὡς τὸν αὐτὸν ἐπέχειν τόπον, ἢ ὥστε ἄλλον παῤ ἄλλον τετάχθαι μηδενὸς σημείου μεταξὺ πίπτοντος· πᾶν γὰρ σημεῖον τὸ μεταξὺ κατ᾿ ἐπίνοιαν πῖπτον ὀφείλει καὶ αὐτὸ κύκλον γράφειν. καὶ εἰ μὲν τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον πάντες, εἷς γενήσεται κύκλος, καὶ διὰ τοῦτο τῷ ἐλαχίστῳ κύκλῳ καὶ πρὸς τῷ κέντρῳ καθεστῶτι ὁ μείζων καὶ ἐξω- τάτω καὶ πάντων περιληπτικὸς καθεστὼς κύκλος ἴσος γενήσεται·

§69 εἰ γὰρ ὁ μὲν ἐξωτάτω κύκλος καὶ πρὸς αὐτῇ τῇ περιφερείᾳ μεῖζον ἐπέχει διάστημα καὶ ὁ ἐσωτάτω πρὸς τῷ κέντρῳ κύκλος μικρὸν ἐπέχει διάστημα, πάντες δὲ οἱ κύκλοι τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον, ὁ τὸ μεῖζον ἐπέ- χων διάστημα ἴσος γενήσεται τῷ 〈τὸ〉 ἐλάχιστον ἐπέ- χοντι διάστημα· ὅπερ ἐστὶν ἀπεμφαῖνον. οὐ τοίνυν οὕτως εἰσὶ συνεχεῖς οἱ κύκλοι ὡς τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέχειν.

§70 εἰ δὲ παράλληλοι τυγχάνουσιν ὥστε μεταξύ τι μὴ πίπτειν ἀμερὲς σημεῖον, συμπληρώσουσι τὸ ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς περιφερείας πλάτος. εἰ δέ γε συμπληρώσουσιν, ἐπέ- χουσί τι πλάτος. ἦσαν δέ γε οὗτοι γραμμαί. αἱ ἄρα γραμ- μαὶ ἔχουσί τι πλάτος καὶ οὐκ ἀπλατεῖς καθεστήκασιν.

§71 Ἀπὸ δὲ τῆς αὐτῆς δυνάμεως ὁρμώμενοι ὁμοιότροπον τῇ προαποδοθείσῃ συνθήσομεν ἐπιχείρησιν. ἐπεὶ γάρ φασι τὴν κυκλογραφοῦσαν εὐθεῖαν γραμμὴν διʼ ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν, συνερωτῶντες αὐτοὺς φήσομεν· εἰ ἡ κυκλογραφοῦοα εὐθεῖα γραμμὴ δι ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν πέφυκεν, οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή· ἀλλὰ μὴν ἡ κυκλογραφοῦοα εὐθεῖα γραμμὴ διʼ ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφει, ὡς ἐκεῖνοί φασιν· οὐκ ἄρα μῆ- κός ἐστιν ἀπλατὲς ἡ γραμμή, ὡς ἡμεῖς τοῦτο ἀκόλουθον ὂν ἐκείνοις διδάξομεν.

§72 ὅταν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀγο- μένη εὐθεῖα στρέφηται καὶ διʼ ἑαυτῆς καταγράφῃ κύ- κλον, τότε ἤτοι κατὰ πάντων τῶν μερῶν τοῦ ἐντὸς τῆς περιφερείας πλάτους φέρεται ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ οὐ κατὰ πάντων ἀλλὰ κατὰ τινῶν. καὶ εἰ μὲν κατὰ τινῶν φέρε- ται, οὐδὲ καταγράφει κύκλον, καθʼ ὧν μὲν μερῶν φερο- μένη καθʼ ὧν δὲ οὔ. εἰ δὲ κατὰ πάντων φέρεται, ὅλον τὸ τῆς περιφερείας καταμετρήσει πλάτος,

§73 πλάτος δὲ κατα- μετροῦσα ἕξει πλάτος· τὸ γὰρ τοῦ πλάτους καταμετρη- τικὸν ὀφείλει πλάτος ἔχειν, ᾧ καταμετρεῖ. ἡ ἄρα εὐ- θεῖα γραμμὴ κυκλοφοροῦσα ὅλον καταμετρεῖ τὸ πλάτος, καὶ οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή.

§74 Τὸ δʼ αὐτὸ σαφέστερον δειχθήσεται καὶ ὅταν λέγωσιν οἱ γεωμέτραι τὴν πλάγιον τοῦ τετραγώνου πλευρὰν κατ- αγομένην τὸ παραλληλόγραμμον [καὶ] ἐπίπεδον καταμε- τρεῖν. εἴπερ γὰρ μῆκος ἀπλατές ἐστιν ἡ πλαγία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου καταγομένη, οὐ καταμετρήσει τὸ παραλ- ληλόγραμμον ἐπίπεδον τοῦ τετραγώνου διʼ ἑαυτῆς· τὸ γὰρ καταμετρητικὸν πλάτους ὀφείλει πλάτος ἔχειν. εἰ δὲ καταμετρεῖ, πάντως πλάτος ἔχει. ὥστε πάλιν ἢ τοῦτο τὸ θεώρημα ψεῦδος εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ἢ μηδὲν ὑπάρ- χειν τὸ νοούμενον μῆκος ἀπλατές.

§75 Τόν τε κύλινδρόν φασι κατ᾿ εὐθεῖαν γραμμὴν ἅπτε- σθαι τῆς ἐπιπέδου καὶ ἐκκυλιόμενον τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖν τὴν ἐπίπεδον. ἀλλʼ εἰ καὶ κατ᾿ εὐθεῖαν ἅπτετοι τῆς ἐπιπέδου ὁ κύλινδρος καὶ κυλιόμενος τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖ τὴν ἐπίπεδον, πάντως καὶ ἡ ἐπίπεδος συνέστηκεν ἐξ εὐθειῶν καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πά- λιν ἐξ εὐθειῶν πεπλήρωται.

§76 ὅθεν ἐπεὶ ἔχει καὶ ἡ ἐπί- πεδος πλάτος καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ὁμοίως καὶ οὐκ ἔστιν ἀπλατής, τὸ δὲ πλάτους ποιητικὸν ὀφείλει καὶ αὐτὸ πλάτος ἔχειν, δῆλον οὖν ὡς ὅτι καὶ αἱ εὐθεῖαι γραμμαὶ συμπληρωτικαὶ οὖσαι τοῦ πλάτους ἐξ ἀνάγκης πλάτος ἔχουσιν, ὥστε μηδὲν εἶναι μῆκος ἀπλατές, διὰ δὲ τοῦτο μηδὲ γραμμήν.

§77 Εἰ δὲ καὶ δοίημεν τὴν γραμμὴν μῆκος εἶναι ἀπλατές, τὰ ἀκόλουθα τούτοις ἔτι τούτων ἀπορώτερα. ὥσπερ γὰρ τὸ σημεῖον ῥυὲν ποιεῖ γραμμήν, οὕτω καὶ ἡ γραμμὴ ῥυεῖσα ποιεῖ ἐπιφάνειαν κατ᾿ αὐτούς, ἥτις ἐστί, φασί, πέ- ρας σώματος δύο ἔχον διαστάσεις, μῆκος καὶ πλάτος.

§78 εἴπερ οὖν ἡ ἐπιφάνεια πέρας ἐστὶ σώματος, τό γε σῶμα πάντως πεπερασμένον ἐστίν καὶ εἰ τοῦτο, ὅτε παρατίθε- ται δύο σώματα ἀλλήλοις, τότε ἤτοι τὰ πέρατα τῶν περά- των ἢ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων ἅψεται 〈ἢ καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων〉, οἷον ἐπὶ τοῦ ἀμφορέως, εἰ νοήσαιμεν πέ- ρας μὲν τὸ ἔξωθεν ὄστρακον πεπερατωμένον δὲ τὸν ἐν αὐτῷ οἶγον.

§79 δυοῖν οὖν ἀμφορέων παραβληθέντων ἀλλή- λοις ἤτοι τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου ἅψεται ἢ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου ἢ καὶ τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου καὶ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου. καὶ εἰ μὲν τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα ἀλλήλων οὐχ ἅψεται, τουτέστι τὰ σώ- ματα, ὅπερ ἧν ἀπεμφαῖνον. εἰ δὲ τὰ πεπερατωμένα μὲν ἀλλήλων ἅψεται, τουτέστι τὰ σώματα, τὰ πέρατα δὲ ἀλ- λήλων οὐχ ἅψεται, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων.

§80 εἰ δὲ καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων, ἐπισυνθήσομεν τὰς ἀπορίας· μὲν γὰρ τὰ πέρατα ἀλλήλων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, ᾗ δὲ τὰ πεπερατω- μένα, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων, ἐπεὶ πέρας μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια, πεπερασμένον δὲ τὸ σῶμα. τά τε πέρατα σώματά ἐστιν ἢ ἀσώματα.

§81 καὶ εἰ μὲν σώ- ματά ἐστι, ψεῦδος ἔσται τοῖς γεωμέτραμις τὸ ἀβαθῆ εἶναι τὴν ἐπιφάνειαν. | εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ἐξ ἀνάγκης ἕξει καὶ βάθος πᾶν γὰρ σῶμα ὀφείλει βάθος ἔχειν. εἶτα οὐδὲ ἅψεταί τινος, ἀλλὰ πᾶν ἔσται ἀπειρομέγεθες. εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ἐπεὶ πᾶν σῶμα πέρας ἔχει, κἀκεῖνο τὸ πέρας σῶμα ὂν ἕξει πέρας, κἀκεῖνο ὁμοίως, καὶ τοῦτ᾿ εἰς ἄπειρον.

§82 εἰ δὲ ἀσώματόν ἐστι τὸ πέρας, ἐπεὶ τὸ ἀσώματον οὐδενὸς δύναται θιγεῖν οὐδὲ θιχθῆναι, τὰ πέρατα οὐχ ἅψεται ἀλ- λήλων, τούτων δὲ μὴ ἁπτομένων οὐδὲ τὰ πεπερατωμένα ἅψεται ἀλλήλων. κἂν δῶμεν οὖν εἶναι μῆκος ἀπλατὲς τὴν γραμμήν, ὁ περὶ τῆς ἐπιφανείας λόγος ἄπορός ἐστιν. οἷς, κἂν ἡμεῖς μὴ λέγωμεν, ἀπόροις οὖσι συναναιρεῖται καὶ τὸ στερεὸν σῶμα, ἐκ τούτων σύνθετον καθεστώς.

§83 Σκοπῶμεν δὲ καὶ οὕτως· εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ὥς φασιν οἱ γεωμέτραι, τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ἤτοι χωριστόν ἐστι τούτων τὸ σῶμα, ὥστε ἄλλο μὲν εἶναι τὸ σῶμα ἄλλο δὲ τὸ μῆκος τοῦ σώματος πλάτος τε καὶ βάθος, ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα. ἀλλὰ χωρίζεσθαι μὲν τούτων τὸ σῶμα οὐ πιθανόν ἐστιν· ὅπου γὰρ μήτε μῆκός ἐστι μήτε πλάτος μήτε βάθος, ἐκεῖ οὐχ οἷόν τε νοῆσαι σῶμα·

§84 εἰ δὲ ὁ ἀθροισμὸς τούτων νοεῖται σῶμα καὶ ἄλλο παρὰ ταῦτα οὐδὲν ὑπάρχει, ἐξ ἀνάγκης, ἐπεὶ ἕκαστον τούτων ἀσώματόν ἐστι, καὶ ἡ κοινὴ τῶν ἀσωμάτων σύνοδος γενήσεται ἀσώματος. ὥσπερ γὰρ καὶ ἡ σύνθεσις τῶν στιγμῶν καὶ ἡ σύνοδος τῶν γραμμῶν ἀσωμάτων φύσει καθεστηκυιῶν οὐ ποιεῖ στερεὸν καὶ ἀντί- τυπον σῶμα, οὕτω καὶ ἡ τοῦ πλάτους καὶ ἡ τοῦ μήκους ἔτι δὲ καὶ ἡ τοῦ βάθους συνέλευσις ἀσώματος οὖσα οὐκ ἂν ποιήσαι στερεὸν καὶ ἀντίτυπον σῶμα. εἰ δὲ μήτε χωρὶς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα μήτε ταῦτʼ ἐστιν, ἀνεπινόητον, ὅσον ἐπὶ τοῖς γεωμέτραις, γίνεται τὸ σῶμα.

§85 Πρὸς τούτοις, εἴπερ μήκους καὶ πλάτους καὶ βά|θους σύνοδος ποιεῖ σῶμα, ἤτοι πρὶν τῆς συνόδου ἕκαστον τού- των νοεῖται περιέχον ἐν ἑαυτῷ τὴν σωματότητα καὶ τοὺς ὥσπερ σωματικοὺς λόγους, ἢ μετὰ τὴν τούτων συνέλευσιν ἐπισυνέστη τὸ σῶμα. καὶ εἰ μὲν ἕκαστον τούτων πρὶν τῆς συνόδου νοεῖται περιεκτικὸν τῆς σωματότητος, ἔσται τού- των ἕκαστον σῶμα καὶ οὐ μετὰ τὴν σύνοδον αὐτῶν ἐκεῖνο γενήσεται.

§86 εἶτʼ ἐπεὶ τὸ σῶμα οὐ μῆκος μόνον ἐστίν, οὐδὲ πλάτος κατ᾿ ἰδίαν, οὐδὲ βάθος κατὰ περιγραφήν, ἀλλʼ ὁμόσε τὰ τρία, καὶ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, τούτων τε ἕκαστον περιεῖχε τὴν σωματότητα, ἕκαστον αὐτῶν ἕξει τὰ τρία, καὶ τὸ μῆκος οὐ μόνον ἔσται μῆκος ἀλλὰ καὶ πλάτος καὶ βάθος, καὶ τὸ πλάτος οὐ μόνον ἔσται πλάτος ἀλλὰ καὶ μῆκος καὶ βάθος, καὶ τὸ βάθος ὁμοίως ἔσται καὶ πλάτος καὶ μῆκος. ὅπερ τελέως ἐστὶν ἀλογώτατον.

§87 εἰ δὲ συνελθόντων τούτων τότε νοεῖται ἡ σύστασις τοῦ σώματος, ἤτοι συνελθόντων αὐτῶν μένει ἡ ἀρχῆθεν φύοις τοῦ 〈μὲν〉 μήκους ὡς μήκους, τοῦ δὲ πλά- τους ὡς πλάτους, τοῦ δὲ βάθους ὡς βάθους, ἢ μετα- βέβληκεν εἰς τὴν σωματότητα.

§88 καὶ εἰ μὲν μένει ἡ ἀρχῆ- θεν αὐτῶν φύσις, ἐπεὶ ἀσώματά ἐστιν, οὐδὲ διάφορον ποιήσει σῶμα, ἀλλὰ καὶ μετὰ τὴν σύνοδον ἀσώματα με- νεῖ, τὴν φύσιν ὄντα ἀσώματα.

§89 εἰ δὲ συνελθόντα μετα- βάλλει εἰς τὴν σωματότητα, ἐπεὶ τὸ ἐπιδεχόμενον μετα- βολὴν εὐθέως ἐστὶ σῶμα, ἕκαστον τούτων καὶ πρὶν τῆς εἰς ταὐτὸ συνόδου ἔσται σῶμα, οὕτω τε καὶ τὸ ἀσώμα- τον γενήσεται σῶμα. ὥσπερ τε τὸ σῶμα μεταβάλλον ἄλ- λην μὲν ἀντʼ ἄλλης ἔχει ποιότητα, μένει δὲ οὐδὲν ἧσσον σῶμα, οἷον τὸ λευκόν, ἵνα μέλαν γένηται, καὶ τὸ γλυκύ, ἵνα πικρόν, καὶ ὁ οἶνος, ἵνα ὄξος, καὶ ὁ μόλιβδος, ἵνα ψιμμύθιον, καὶ ὁ χαλκός, ἵνα ἰός, ἄλλην μὲν ἀντʼ ἄλλης ἀναδέχεται ποιότητα,

§90 οὐκ ἐκβαίνει δὲ τοῦ σώματα εἶναι, ἀλ|λὰ καὶ τὸ μέλαν, ὅτε ἐκ λευκοῦ γέγονε μέλαν, καὶ τὸ πικρόν, ὅτε ἐκ τοῦ γλυκέος γέγονε πικρόν, καὶ τὸ ὄξος, ὅτε ἐκ τοῦ οἴνου γέγονεν ὄξος, μένει σώματα, οὕτω καὶ ταῦτα, εἴπερ μεταβάλλει εἰς σώματα, ἄλλα μὲν ἀντʼ ἄλ- λων ἔσται σώματα, σώματα δὲ οὐδὲν ἧττον οὐ γὰρ ἐκβήσεται τὴν ἰδίαν φύσιν. εἰ οὖν οὔτε πρὶν τῆς συνελεύ- σεως τούτων ἔστι νοῆσαι τὸ σῶμα οὔτε μετὰ τὴν συν- έλευσιν αὐτῶν, παρὰ δὲ ταῦτα οὐκ ἔστιν ἄλλως ἐπινοῆ- σαι, οὐδέν ἐστι σῶμα.

§91 πρὸς δὲ τούτοις, εἰ μηδέν ἐστι μῆκος μηδὲ πλάτος μηδὲ βάθος, οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν τούτων νοούμενον ἔσται σῶμα οὐχὶ δέ γε μῆκος ἔστιν οὐδέ πλάτος οὐδὲ βάθος, ὡς διὰ τῶν ἔμπροσθεν παρεμυ- θησάμεθα οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν ἄρα τούτων νοούμε- νον ἔσται σῶμα.

§92 Τὰς μὲν οὖν γεωμετρικὰς ἀρχὰς οὕτω συμβέβηκεν ἀν- υποστάτους εἶναι τούτων δὲ ἀναιρουμένων οὐδὲ ἄλλο τι γεωμετρικὸν θεώρημα συστῆναι δύναται. ὁποῖον γὰρ ἂν ᾖ τοῦτο, γραμμικῶς ὀφείλει ἀποδείκνυσθαι, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐδέν ἐστιν ἡ γενικὴ γραμμή, ᾧ ἀκολουθεῖ μηδὲ τῶν ἐπʼ εἴδοὺς τινὰ ὑπάρχειν, ἐάν τε εὐθεῖάν τις ταύτην ὑποτίθηται ἐάν τε κεκλασμένην ἐάν τε ἄλλως πως ἔχουσαν.

§93 ὅθεν ἤρκει μὲν ἴσως ἐν τούτοις περατοῦν τὴν πρὸς τοὺς γεωμέτρας ἀντίρρησιν ὅμως δὲ ἐπαγωνιζόμε- νοι πειρασόμεθα διδάσκειν ὅτι κἂν τῶν ἀρχῶν ἀποστῶμεν τῶν τῆς γεωμετρίας, οὐ δύνανται θεώρημα συστῆσαι οἱ γεωμέτραι οὐδʼ ἀποδεῖξαι.

§94 καίτοι πρὶν τούτων καὶ πρὸς τὰς ὑποβεβηκυίας αὐτῶν ἀρχὰς οὐκ ὀλίγα δυνατόν ἐστι λέγειν, οἷον ὅταν φῶσιν εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένην. ἵνα γὰρ τὰ ἄλλα παρ- ῶμεν, ἐκεῖνο μὲν συμφανές ἐστιν ὅτι τῆς γενικῆς γραμ- μῆς μὴ οὔσης οὐδὲ εὐθεῖα γραμμὴ γένοιτʼ ἄν ὡς γὰρ ζῴου μὴ ὄντος οὐδὲ ἄνθρωπος ἔστι καὶ ἀνθρώπου μὴ ὅντος οὐδὲ Σωκράτης ἔστιν, οὕτω τῆς γενικῆς ἀναιρου- μένης γραμμῆς συνανῄρηται καὶ ἡ ἐπίπεδος εὐθεῖα γραμ- μή.

§95 εἶτα καὶ τὸ ἴσον λέγεται διχῶς, κατὰ ἕνα μὲν τρόπον τὸ ἰσομέγεθες καὶ μήτε ὑπερέχον ἐκείνου τοῦ ᾧ λέγεται ἴσον μήτε ὑπερεχόμενον, καθὸ καὶ τὸ πηχυαῖον ξύλον ἴσον εἶναι λέγομεν τῷ πηχυαίῳ, καθʼ ἕτερον δὲ τὸ ἔχον ἐξ ἴσου τὰ μέρη κείμενα, τουτέστι τὸ ὁμαλόν οὕτω γοῦν τὸ ‘ἴσον’ ἔδαφος καλοῦμεν ἀντὶ τοῦ ‘ὁμαλόν’.

§96 διχῶς οὖν τοῦ ἴσου προσαγορευομένου, ὅταν οἱ γεωμέτραι τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν ὑπογράφοντες φῶσιν ‘εὐθεῖά ἐστι γραμμὴ ἡ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένη’, ἤτοι τὸ κατὰ τὸ πρῶ- τον σημαινόμενον λαμβάνουσιν ἴσον ἢ τὸ κατὰ τὸ δεύτε- ρον. ἀλλʼ εἰ μὲν τὸ κατὰ τὸ πρῶτον, τελέως εἰσὶν ἀνόη- τοι οὐδένα γὰρ ἔχει νοῦν τὸ εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἰσομεγέθη τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι καὶ μήτε ὑπερέχουσαν ταῦ- τα μήτε ὑπερεχομένην ὑπὸ τούτων.

§97 εἰ δὲ τὸ κατὰ τὸ δεύτερον, διʼ αὐτοῦ τοῦ ζητουμένου διδάξουσιν, εἴγε ὅτι μέν ἐστιν εὐθεῖα παριστᾶσιν ἐκ τοῦ ὁμαλῶς τε καὶ ἐπʼ εὐθείας ἔχειν κείμενα τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπʼ εὐθείας τι κεῖ- σθαι οὐκ ἔστι μαθεῖν μὴ ἐπιβαλόντας τῇ εὐθείᾳ.

§98 πολλῷ δὲ ἀτοπώτατοι τυγχάνουσι κἀκείνως ὁριζόμενοι ‘εὐθεῖά ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς πέρασι στρέφεται’ ἢ οὕ- τως ‘ἥτις περὶ τὰ ἑαυτῆς πέρατα στρεφομένη πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσιν ἅπτεται τοῦ ἐπιπέδου.’ πρῶτον μὲν γὰρ καὶ αὗται αἱ ἀποδόσεις ὑποπίπτουσι ταῖς πρότερον ἡμῖν εἰρημέναις ἀπορίαις· εἶτα, καθὼς καὶ οἱ Ἐπικούρειοί (fr. 273 a p. 351 Us.) φασιν, ἡ τοῦ κενοῦ εὐθεῖα εὐθεῖα μέν ἐστιν, οὐ στρέφεται δὲ διὰ τὸ καὶ αὐτὸ τὸ κενὸν μήτε ὅλον μήτε κατὰ μέρος κίνησιν ἐπιδέχεσθαι.

§99 ἡ μὲν γὰρ ἐπὶ τέλει ἀπόδοσις καὶ εἰς τὸν διʼ ἀλλήλων εμπίπτει τρόπον, ὅς ἐστι μοχθηρότατος. τό τε γὰρ ἐπίπεδον διὰ τῆς εὐθείας διδάσκουσι | τήν τ᾿ εὐθεῖαν διὰ τοῦ ἐπιπέ- δου εὐθεῖαν γὰρ εἶναί φασιν ἥτις εἰς πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἅπτεται, ἐπίπεδον δὲ τυγχάνειν διʼ οὗ ἡ καταγομένη εὐθεῖα πᾶσι τοῖς μέρεσιν ἅπτεται, ὥσθ᾿ ἵνα μὲν τὴν εὐθεῖαν μάθωμεν, πρῶτον τὸ ἐπίπεδον μα- θεῖν δεῖ, ἵνα δὲ τοῦτο, ἀναγκαῖον προεγνωκέναι τὴν εὐ- θεῖαν· ὅπερ ἄτοπον. καθόλου τε ὁ διὰ τοῦ ἐπιπέδου τὴν εὐθεῖαν διδάσκων οὐδὲν ἄλλο ποιεῖ ἢ διʼ εὐθείας τὴν εὐθεῖαν παρίστησιν, ἐπείπερ τὸ ἐπίπεδον πολλαί εἰσιν εὐ- θεῖαι κατ᾿ αὐτούς.

§100 Οἷος δέ ἐστιν ὁ περὶ τῆς εὐθείας λόγος, τοιοῦτος γέ- νοιτʼ ἂν καὶ ὁ περὶ τῆς γωνίας. πάλιν γὰρ ὅταν ὑπογρά- φοντες λέγωσιν ὅτι γωνία ἐστὶ δυοῖν εὐθειῶν μὴ κατάλ- ληλα κειμένων τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν ἐλάχιστον, ἤτοι ἐλάχι- στον λέγουσι τὸ ἀμερὲς σῶμα ἢ τὸ κατ᾿ αὐτοὺς σημεῖον καὶ στιγμήν.

§101 ἀλλὰ τὸ μὲν ἀμερὲς σῶμα οὐκ ἂν εἴποιεν, ἐπείπερ τοῦτο μὲν οὐδʼ εἰς δύο μέρη δύναται διαιρεῖσθαι, ἡ δὲ γωνία κατ᾿ αὐτοὺς ἐπʼ ἄπειρον τέμνεται. καὶ ἄλλως, τῆς γωνίας ἣν μὲν μείζονά φασιν εἶναι ἣν δὲ μικροτέραν· τοῦ δὲ ἐλαχίστου σώματος οὐδέν ἐστι βραχύτερον, ἐπεὶ ἐκεῖνο ἀλλʼ οὐ τοῦτο γενήσεται ἐλάχιστον.

§102 λείπεται ἄρα τὸ κατ᾿ αὐτοὺς σημεῖον εἶναι λέγειν ὓ καὶ αὐτὸ τῶν ἀπόρων. εἰ γὰρ πάντῃ πανταχῶς ἀδιάστατόν ἐστι τὸ σημεῖον, οὐ διαιρεθήσεται ἡ γωνία. καὶ μὴν οὐδὲ μείζων τις ἔσται ἢ ἐλάσσων γωνία ἐν γὰρ τοῖς μηδεμίαν ἔχουσι διάστασιν οὐκ ἂν εἴη τις κατὰ μέγεθος διαφορά.

§103 ἄλλως τε, εἰ μεταξὺ τῶν εὐθειῶν πίπτει τὸ σημεῖον, διορίζει τὰς εὐθείας, διορίζον δὲ οὐκ ἔσται ἀδιάστατον.

§104 νὴ Δία, ἀλλʼ εἰώθασί τινες ἐξ αὐτῶν γωνίαν λέγειν τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν πρῶτον διάστημα. πρὸς οὓς ἁπλοῦς ὁ μῦθος τῆς ἀληθείας ἔφυ. (Eur. Ph. 469) ἤτοι γὰρ ἀμερές ἐστι τὸ διάστημα τοῦτο ἢ μεριστόν. ἀλλʼ εἰ μὲν ἀμερές, αἱ προειρημέναι τῶν ἀποριῶν ἀκολουθή- |σουσιν αὐτοῖς, εἰ δὲ μερὶστόν, οὐδὲν ἔσται πρῶτον· τοῦ γὰρ ὑποσταθέντος πρώτου ἕτερον εὑρεθήσεται πρότερον διὰ τὴν ἀρεσκομένην αὐτοῖς εἰς ἄπειρον τῶν ὄντων τομήν.

§105 Ἐῶ λέγειν ὅτι καὶ ἄλλῃ τινὶ τεχνολογίᾳ μάχεται ἡ τοιαύτη τῶν γωνιῶν νόησις. διαιρούμενοι γάρ φασι τῆς γωνίας τὴν μέν τινα εἶναι ὀρθὴν τὴν δὲ ἀμβλεῖαν τὴν δὲ ὀξεῖαν, καὶ τῆς μὲν ἀμβλείας ἄλλην καὶ ἄλλην μᾶλλον ἀμβλυτέραν εἶναι, ὡσαύτως δὲ καὶ τῆς ὀξείας.

§106.1 εἰ δὴ γω- νίαν φαμὲν τὸ ἐλάχιστον ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα, οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί, παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπʼ ἀλλήλων. ἢ εἴπερ [οὐ] σῴζονται, ἀναιρεῖται ἡ γωνία, μὴ ἔχουσα ἑστη- κὸς μέτρον ᾧ διαγνωσθήσεται.

§106.2 Περὶ μὲν οὖν εὐθείας γραμμῆς καὶ γωνίας τοιαῦτα ῥη- τέον πρὸς αὐτούς·

§107 ὁριζόμενοι δὲ καὶ τὸν κύκλον φασὶ ‘κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι- εχόμενον, πρὸς ἣν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις’ ματαιάζοντες· τοῦ γὰρ ση- μείου καὶ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς εὐθείας καὶ ἔτι τοῦ ἐπι- πέδου [καὶ 〈τῆς〉 γωνίας] ἀνῃρημένων οὐδὲ κύκλος ἐπι- νοηθῆναι δύναται.

§108 Ἀλλ᾿ ἵνα μὴ δοκῶμεν σοφιστικοί τινες εἶναι καὶ τὴν σύμπασαν τῆς ἀντιρρήσεως κατασκευὴν ἐν μόνας καταν- αλίσκειν ταῖς τῆς γεωμετρίας ἀρχαῖς, φέρε μετελθόντες, ὡς πρότερον (§ 93) ὑπεσχόμεθα, καὶ τὰ μετὰ τὰς ἀρχὰς αὐτῶν θεωρήματα ἐπισκεψώμεθα.

§109 ὅταν οὖν λέγωσι τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμεῖν, ἤτοι τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος διδομένην λέγουσι διχοτομεῖν ἢ τὴν ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένην. οὔτε δὲ τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος δοθεῖ- σαν διχοτομεῖν ἐροῦσιν· αὕτη μὲν γὰρ μῆκος καὶ πλάτος αἰσθητὸν ἔχειν φαίνεται, ἡ δὲ κατ᾿ αὐτοὺς εὐθεῖα γραμμὴ μῆκός ἐστιν ἀπλατές, ὥστε μὴ οὖσα κατ᾿ αὐτοὺς [ἡ] γραμμὴ | ἡ ἐπὶ τοῦ ἄβακος οὐδὲ δίχα τμηθήσεταμι ὡς γραμμή.

§110 καὶ μὴν οὐδὲ ἡ ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένη. ὑποκείσθω γὰρ λόγου χάριν ἐξ ἐννέα στιγμῶν συνεστῶσα, ἀφʼ ἑκατέρου μὲν τῶν ἄκρων τεσσάρων καὶ τεσσάρων ἀριθμουμέτων, μιᾶς δὲ τὰς δύο τετράδας μεσο- λαβούσης στιγμῆς. οὐκοῦν εἰ δίχα τέμνεται ἡ ὅλη γραμμή, ἤτοι μεταξὺ ταύτης τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος ἐνεχθήσεται τὸ τέμνον, ἢ κατ᾿ αὐτῆς τῆς πέμ- πτης, ὥστε καὶ αὐτὴν διχάζειν.

§111 τὸ μὲν οὖν μεταξὺ τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος φέρεσθαι τὸ τέμνον τῶν ἀλόγων· γενήσεται γὰρ ἄνισα τὰ τμήματα, καὶ τὸ μὲν ἐκ τεσσάρων στιγμῶν συγκείμενον τὸ δὲ ἐκ πέντε. τὸ δὲ αὐτἦν διχάζειν τὴν στιγμὴν πολλῷ τοῦ προτέρου ἀλογώτερον οὐκέτι γὰρ ἀδιάστατον ἀπολεί- ψουσι τὸ σημεῖον, ὅ γε διχάζεται πρὸς τοῦ τέμνοντος.

§112 ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπειδὰν φῶσι τὸν κύκλον εἰς ἴσα τέμνειν. εἰ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἴσα τέμνεται, πάντως ἐπεὶ μεσαίτατον ἔχει τὸ κέντρον, ὃ καὶ αὐτό ἐστι σημεῖον, ἤτοι τῷδε τῷ τμήματι ἢ τῷδε [τινι] προσμερισθήσεται, ἢ καὶ αὐτὸ δίχα τμηθήσεται. ἀλλὰ τὸ μὲν τῷδε ἢ τῷδε προσμερισθῆναι ἄνισον τὴν διχοτόμησιν ποιεῖ, τὸ δὲ καὶ αὐτὸ διχοτομεῖσθαι μαχόμενόν ἐστι τῷ ἀδιάστατον καὶ ἀμερές ὑπάρχειν τὸ σημεῖον.

§113 τό τε τέμνον τὴν γραμμὴν ἤτοι σῶμά ἐστιν ἢ ἀσώματον. οὔτε δὲ σῶμα δύναται τυγχάνειν ἀθιγὲς γάρ τι καὶ ἀσώματον καὶ μὴ ὑποπῖπτον αὑτῷ οὐκ ἂν τέμοι οὔτε ἀσώματον, τουτὶ γὰρ πάλιν εἰ μὲν στιγμή ἐστι, τῷ ἀμερὴς εἶναι καὶ κατὰ ἀμεροῦς πίπτειν οὐκ ἂν τέμοι, εἰ δὲ γραμμή, πάλιν ἐπεὶ τῷ πέρατι ἑαυτῆς ὀφείλει τέμνειν, τὸ δὲ πέρας αὐτῆς ἐστιν ἀμερές, οὐ τέμνει.

§114 ἄλλως τε τὸ τέμνον πέρας ἤτοι μέσον τῶν δυοῖν στιγμῶν πῖπτον διχοτομεῖ τὴν γραμμήν, ἢ κατὰ μέσου φερόμενον τοῦ σημείου. ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ μέσου φέρεσθαι τοῦ σημείου τῶν ἀδυνάτων· δεήσει γάρ, ὡς πρότερον (§ 111 sq.) ἐλέγομεν, τὸ καθʼ οὗ φέρεται με- ριστὸν εἶναι καὶ μηκέτι ἀδιάστατον τυγχάνειν.

§115 μεταξὺ δὲ τῶν δυοῖν στιγμῶν φέρεσθαι πολλῷ ἀλογώτερον. πρῶτον μὲν γὰρ οὐδὲν δύναται μεταξὺ συνεχείας μέσον πεσεῖν πέρας· εἶτα κἂν δοθῇ τὸ τοιοῦτον ὡς δυνατόν, ὀφείλει μετακινεῖν τὰ ὧν μεταξὺ τάσσεται, εἶπερ ἐστὶ συνεχῆ· ταῦτα δʼ ἐστὶν ἀκίνητα. τοίνυν ἄπορος καὶ ὁ περὶ τοῦ τέμνοντός ἐστι λόγος.

§116 οὐ μὴν ἀλλὰ κἂν δῶμεν αὐ- τοῖς τὰς ἀφαιρέσεις ποιεῖσθαι ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν τούτων γραμμῶν, οὐ δυνήσονται οὐδʼ οὕτως εὐοδῆσαι. γὰρ ἀφʼ ὅλης τῆς γραμμῆς ἡ ἀφαίρεσις γενήσεται ἀπὸ μέρους, καὶ τὸ ἀφαιρούμενον ἴσον ἀπὸ ἴσου ἢ ἄνισον ἀπὸ ἀνίσου [ἢ ἐναλλὰξ] γενήσεται· οὐδὲν δὲ τούτων ἐστὶν εὔπορον, ὡς ἐν τῷ Πρὸς τοὺς γραμματικοὺς (M I 162) καὶ ἐν τῷ Πρὸς τοὺς φυσικοὺς (M IX 279 et 294) ὑπομνήματι παρ- εστήσαμεν· οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς γεωμέτραις ἀφαι- ρεῖν τι καὶ τέμνειν ἀπὸ γραμμῆς.